Question

Докажите, что если x > 0, y > 0, z > 0 и xy + yz + xz больше либо равно 12, то x + y + z больше либо равно 6.

Answer 1

Решение : ////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что x, y и z положительные числа, такие что xy + yz + xz ≥ 12, но x + y + z < 6.

Поскольку xy + yz + xz ≥ 12, то (x+y+z)(xy + yz + xz) ≥ 12(x + y + z). Раскроем скобки: xy(x+y+z) + yz(x+y+z) + xz(x+y+z) ≥ 12(x + y + z).

Заметим, что x+y+z > 0 (поскольку x, y и z положительные числа), поэтому можем поделить обе части неравенства на x+y+z:

xy + yz + xz ≥ 12.

Теперь у нас есть два неравенства: x + y + z < 6 и xy + yz + xz ≥ 12.

Допустим, что x + y + z < 6. Рассмотрим выражение (x+y+z)²:

(x+y+z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz.

Поскольку все три числа x, y и z положительные, то x², y² и z² также положительные.

Теперь добавим 2xy + 2yz + 2xz к обеим частям неравенства:

(x+y+z)² + 2xy + 2yz + 2xz < x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz + 2xy + 2yz + 2xz.

(x+y+z)² + 2xy + 2yz + 2xz < x² + y² + z² + 4xy + 4yz + 4xz.

(x+y+z)² + 2xy + 2yz + 2xz < (x+y+z)² + 4xy + 4yz + 4xz.

Теперь упростим это неравенство:

2xy + 2yz + 2xz < 4xy + 4yz + 4xz.

2xy - 4xy + 2yz - 4yz + 2xz - 4xz < 0.

-2xy - 2yz - 2xz < 0.

2(xy + yz + xz) < 0.

xy + yz + xz < 0.

Однако, мы предположили, что xy + yz + xz ≥ 12. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Таким образом, наше предположение о том, что x + y + z < 6, неверно. Следовательно, если xy + yz + xz ≥ 12, то x + y + z ≥ 6.

Итак, мы доказали, что если x > 0, y > 0, z > 0 и xy + yz + xz ≥ 12, то x + y + z ≥ 6.