Question

30 баллов! Лёгкая задача. Докажите, что для любых натуральных чисел верно равенство (a+b):c = a:c + b:c

Answer 1

Ответ:

Это равенство верно для любых натуральных чисел:

Например:

$\frac{(a+b)}{c} =\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \\\\\frac{(5+2)}{7}=\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\\\\ \frac{7}{7}=\frac{7}{7}\\\\ 1=1$

Верно!!

Или:

$\frac{(8+3)}{9}=\frac{8}{9}+\frac{3}{9}\\\\ \frac{11}{9}=\frac{11}{9}\\\\1\frac{2}{9}=1\frac{2}{9}$

Все верно для любых натуральных чисел!!

Доказано!!

Answer 2

Для доказательства равенства \((a+b):c = a:c + b:c\), где \(a\), \(b\), и \(c\) являются натуральными числами, нам нужно показать, что обе стороны равенства равны между собой.

Мы начнем с левой стороны уравнения: \[(a+b):c\]

Это можно переписать как \(\frac{a+b}{c}\).

Теперь рассмотрим правую сторону уравнения: \[a:c + b:c\]

Это можно переписать как \(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}\).

Теперь приведем правую часть к общему знаменателю, умножив первое слагаемое на \(\frac{c}{c}\) и второе слагаемое на \(\frac{c}{c}\): \[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{c} + \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a \cdot c}{c^2} + \frac{b \cdot c}{c^2} = \frac{a \cdot c + b \cdot c}{c^2}\]

Теперь мы видим, что правая сторона равенства равна \(\frac{a \cdot c + b \cdot c}{c^2}\).

Теперь сравним обе стороны уравнения: \[\frac{a+b}{c} = \frac{a \cdot c + b \cdot c}{c^2}\]

Чтобы доказать равенство, умножим обе стороны на \(c^2\): \[c^2 \cdot \frac{a+b}{c} = a \cdot c + b \cdot c\]

Мы видим, что левая сторона равна \(a \cdot c + b \cdot c\), что также является значением правой стороны.

Таким образом, мы доказали, что для любых натуральных чисел \(a\), \(b\), и \(c\) верно равенство \((a+b):c = a:c + b:c\).