Question

Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черные квадраты,не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?

Answer 1

Есть 32 способа выбрать белый квадрат.
Из чёрных квадратов не подходят 8, которые лежат на тех же линиях, что выбранный белый.
Стало быть, 32*24.

Answer 2

Чтобы ответить на данную задачу, мы можем рассмотреть несколько случаев.

1) Пусть на шахматной доске n x n клеток. В этом случае общее количество квадратов на доске будет равно n^2. При этом количество белых и черных квадратов будет равно n^2/2 для каждого цвета.

2) Рассмотрим случай, когда n - четное число. В этом случае мы можем разделить доску на две равные части (например, вертикально) и каждой части сопоставить один цвет. При этом количество черных и белых квадратов, не лежащих на одной горизонтали и вертикали, будет равно (n^2/2)/2 = n^2/4 для каждого цвета. Таким образом, общее количество способов выбрать квадраты будет равно n^2/4.

3) Если n - нечетное число, то мы должны рассмотреть несколько возможных вариантов разделения доски на две части. Количество черных и белых квадратов, не лежащих на одной горизонтали и вертикали, будет зависеть от разделения доски.

a) Разделение доски горизонтальной чертой. В этом случае на одной половине доски будут находится n*(n+1)/2 клеток, а на второй половине - n*(n-1)/2 клеток. Таким образом, количество черных и белых квадратов, не лежащих на одной горизонтали и вертикали, будет равно (n*(n+1)/2)/2 + (n*(n-1)/2)/2 = n^2/4.

b) Разделение доски вертикальной чертой. В этом случае также на одной половине доски будет находится n*(n+1)/2 клеток, а на второй половине - n*(n-1)/2 клеток. Количество черных и белых квадратов, не лежащих на одной горизонтали и вертикали, будет также равно n^2/4.

Таким образом, в обоих случаях общее количество способов выбрать квадраты будет равно n^2/4.

В итоге, общий ответ на задачу: количество способов выбрать на шахматной доске белые и черные квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали, равно n^2/4 для любого n.