Question

Dx/3-2sin^2x найти интеграл

Answer 1

$\displaystyle\int\frac{dx}{3-2sin^2x}=\int\frac{dx}{sin^2x(\frac{3}{sin^2x}-2)}=-\frac{1}{\sqrt3}\int\frac{d(\sqrt3ctgx)}{3ctg^2x+1}=\\=-\frac{1}{\sqrt3}arctg(\sqrt{3}ctgx)+C\\\\\\\frac{3}{sin^2x}-2=3ctg^2x+1$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(dx/3 - 2sin^2(x)), нужно разложить второе слагаемое на произведение и применить соответствующие интегральные формулы.

1. Разложение sin^2(x): sin^2(x) = (1-cos2x)/2

2. Замена: Пусть u = cos2x, тогда du = -2sin2xdx

Подставим разложение и произведем замену: ∫(dx/3 - 2sin^2(x)) = ∫(dx/3 - (1-cos2x)) dx = ∫(dx/3 + cos2x - 1) dx = 1/3 ∫dx + ∫cos2x dx - ∫dx = 1/3 x + 1/2 ∫cos2x dx - x + C 3. Найдем интеграл ∫cos2x dx: Пусть v = 2x, тогда dv = 2dx Интеграл преобразуется к виду: ∫cos2x dx = ∫(1/2)cos(v) dv = (1/2)∫cos(v) dv = (1/2)sin(v) + C' = (1/2)sin(2x) + C'

Итоговый интеграл имеет вид: ∫(dx/3 - 2sin^2(x)) = 1/3 x + 1/2 (1/2)sin(2x) - x + C = 1/3 x - x + 1/4 sin(2x) + C где C и C' - произвольные постоянные.