Question

Про некоторую дробь с положительными числителем и знаменателем известно, что при увеличении её числителя и знаменателя на 12 она сама увеличится в 3 раза. Найдите все такие несократимые дроби. В ответе укажите сумму дробей, обратных к полученным.

Answer 1

Начальная дробь x/y.
Если к числителю и знаменателю прибавить 12, то дробь увеличится в 3 раза.
(x + 12) / (y + 12) = 3x/y
По свойствам пропорции
y(x + 12) = 3x(y + 12)
xy + 12y = 3xy + 36x
12y = 2xy + 36x
6y - xy = 18x
y(6 - x) = 18x
y = 18x / (6 - x)
Чтобы y было натуральным числом, знаменатель (6 - x) должен быть положительным, и числитель 18x должен делиться на него. Варианты:
1) x = 5; 6 - x = 1; y = 18*5/1 = 90.
Но тогда дробь x/y = 5/90 сократима. Не подходит.
2) x = 4; 6 - x = 2; y = 18*4/2 = 36.
Но дробь x/y = 4/36 опять сократима. Не подходит.
3) x = 3; 6 - x = 3; y = 18*3/3 = 18.
Дробь x/y = 3/18 опять сократима. Не подходит.
4) x = 2; 6 - x = 4; y = 18*2/4 = 9
Дробь x/y = 2/9 подходит.
Проверим. (x+12) / (y+12) = 14/21 = 2/3 = 3*2/9. Все правильно.
5) x = 1; 6 - x = 5; y = 18*1/5 = 18/5 = 3,6
Дробь x/y = 1/3,6 = 5/18
Проверим. (x+12) / (y+12) = 13/15,6 = 1/1,2 = 5/6. Все правильно.
Сумма обратных дробей:
9/2 + 18/5 = 4,5 + 3,6 = 8,1.
Но, скорее всего, числа x и y должны быть натуральными, поэтому 5) не подходит.
Тогда решение только 4), а
Ответ: 9/2 = 4,5

Answer 2

Пусть исходная дробь имеет числитель x и знаменатель y. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

(x + 12)/(y + 12) = 3 * (x/y)

Раскроем скобки и приведем подобные:

3 * (x/y) = (x + 12)/(y + 12) 3xy = xy + 12x 2xy = 12x 2y = 12 y = 6

Таким образом, знаменатель исходной дроби равен 6. Подставим это значение в исходное уравнение:

(x + 12)/18 = 3 * (x/6) (x + 12)/18 = x/2 2(x + 12) = 18x 2x + 24 = 18x 16x = 24 x = 3/2

Итак, исходная дробь равна 3/2.

Теперь найдем все несократимые дроби, которые удовлетворяют условию задачи. Несократимые дроби получаются, если числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

Таким образом, все несократимые дроби, удовлетворяющие условию задачи, имеют числитель, который является делителем числа 3, а знаменатель, который является делителем числа 2.

Делители числа 3: 1, 3 Делители числа 2: 1, 2

Следовательно, все несократимые дроби, удовлетворяющие условию задачи, равны:

1/2 и 3/6

Сумма дробей, обратных к полученным, равна:

1/2 + 6/3 = 1/2 + 2 = 3/2