Question

В треугольнике, две стороны которого равны a и b, сумма высот, опущенных на эти стороны, равна третьей высоте. Найти третью сторону, если а=4, b=6.

Answer 1

Площадь треугольника равна половине произведению стороны на высоту, к ней проведённую
S = 1/2 a *h = 2h отсюда следует, что h = S/2
S = 1/2 b * h = 3h а отсюда, что h = S/3
Сумма высот равна 5S/6
S = 1/2 c * h здесь мы подставим предыдущее и получим, что
S = 1/2c * 5S/6 = 5Sc/12
1 = 5c/12
12 = 5c
c = 12/5 = 2,4

Ответ: 2,4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством треугольника и системой уравнений. Давайте обозначим стороны треугольника как a, b и c, а высоты, опущенные на эти стороны, как h1, h2 и h3. Мы знаем, что сумма высот, опущенных на две известные стороны (a и b), равна третьей высоте:

h1 + h2 = h3

Теперь мы можем воспользоваться формулой для высоты, опущенной на сторону треугольника, связанной с площадью треугольника. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Высота, опущенная на сторону a, равна (2S)/a, и высота, опущенная на сторону b, равна (2S)/b. Таким образом, мы можем записать:

h1 = (2S)/a h2 = (2S)/b

Теперь подставим h1 и h2 в уравнение h1 + h2 = h3:

(2S)/a + (2S)/b = h3

Также мы знаем, что S = (1/2) * a * h3, так как площадь треугольника равна половине произведения стороны a на соответствующую высоту h3.

Теперь мы можем записать уравнение, используя известные значения a и b:

(2 * (1/2) * a * h3)/a + (2 * (1/2) * b * h3)/b = h3

Упрощаем уравнение:

h3 + h3 = h3

2h3 = h3

Теперь мы видим, что h3 = 2h3, что означает, что h3 равно нулю. Это означает, что третья высота равна нулю, и третья сторона треугольника (c) является гипотенузой прямоугольного треугольника с высотами h1 и h2.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны c:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 4^2 + 6^2 c^2 = 16 + 36 c^2 = 52

Извлекаем квадратный корень:

c = √52 c = 2√13

Итак, длина третьей стороны треугольника равна 2√13, при условии, что a = 4 и b = 6.