Question

Решить уравнение 1/(1-tg^2(2x))=1+cos4x

Answer 1

По формуле косинуса двойного угла
cos 2a = cos^2 a - sin^2 a = 2cos^2 a - 1
Поэтому
1 + cos(4x) = 2cos^2 (2x)
1/(1 - tg^2 (2x)) = 2cos^2 (2x)
2cos^2 (2x) * (1 - tg^2 (2x)) = 1
cos^2 (2x) * (1 - tg^2 (2x)) = 1/2
cos^2 (2x) - sin^2 (2x) = 1/2
cos (4x) = 1/2
Получилось совсем простое уравнение.
4x = +-Π/3 + 2Π*k
x = +-Π/12 + Π*k/2

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы будем использовать несколько шагов. Начнем с приведения уравнения к более простому виду.

Шаг 1: Приведение уравнения к общему знаменателю

Для начала, заметим, что в уравнении присутствуют три различных дроби. Чтобы привести их к общему знаменателю, нам понадобится найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей.

Заметим, что знаменатель у первой дроби равен 1 - tg^2(2x), знаменатель у второй дроби равен 1, а знаменатель у третьей дроби равен cos4x.

Наименьшее общее кратное для этих трех знаменателей равно произведению самих знаменателей. Таким образом, общий знаменатель будет равен (1 - tg^2(2x)) * 1 * cos4x.

Шаг 2: Упрощение уравнения

Умножим каждую дробь в уравнении на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.

После упрощения уравнения, мы получим следующее:

1 = (1 - tg^2(2x)) * (1 + cos4x)

Шаг 3: Раскрытие скобок и сокращение

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

1 = (1 - tg^2(2x)) + (1 - tg^2(2x)) * cos4x

1 = 1 - tg^2(2x) + cos4x - tg^2(2x) * cos4x

Шаг 4: Перенос всех слагаемых в одну сторону уравнения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

0 = - tg^2(2x) - tg^2(2x) * cos4x + cos4x

Шаг 5: Факторизация и решение

Факторизуем полученное уравнение и решим его:

0 = (cos4x - 1) * (1 + tg^2(2x))

Теперь, чтобы решить это уравнение, нам нужно рассмотреть два случая:

Случай 1: cos4x - 1 = 0 Это означает, что cos4x = 1. Решим это уравнение:

cos4x = 1 4x = 2πn, где n - целое число x = πn/2, где n - целое число

Случай 2: 1 + tg^2(2x) = 0 Это означает, что tg^2(2x) = -1. Так как tg^2(2x) не может быть отрицательным числом, то это уравнение не имеет решений.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются x = πn/2, где n - целое число.