Question

Помогите решить предел Lim (1-Cos4x)/(1-корень (x^2+1), стремящийся к нулю. Пробывал домнажать на сопряженное, чтоб получалась разность квадратов, но все равно это ничего не дало, все также получается 0/0. Прошу помочь, сам пример: Lim (1-Cos4x)/(1-корень (x^2+1), стремящийся к нулю

Answer 1

Можно решить по правилу Лопиталя: Lim (1-cos(4*x))/(1-sqrt(x^2+1))=((1-cos(4*x))')/((1-sqrt(x^2+1))')=Lim (4*sin(4*x))/(-(x/sqrt(x^2+1))=Lim ((4*sin(4*x))')/((-(x/sqrt(x^2+1))')= Lim (16*cos(4*x))/(-((sqrt(x^2+1)-(x^2)/sqrt(x^2+1))/(x^2+1))=Lim ((16*cos(4*x))*(x^2+1))/(-1)=((16*cos(0))*(0^2+1))/(-1)=-16.

Answer 2

Для решения данного предела, можно воспользоваться правилом Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что если предел функции f(x) при x стремящемся к a и предел функции g(x) при x стремящемся к a существуют и равны нулю или бесконечности, то предел от их отношения f(x)/g(x) при x стремящемся к a равен пределу отношения производных f'(x)/g'(x) при x стремящемся к a.

В данном случае, у нас предел функции (1-Cos4x)/(1-корень(x^2+1)) при x стремящемся к нулю. Попробуем применить правило Лопиталя.

Первый шаг: Находим производную числителя и знаменателя.

Найдем производные числителя и знаменателя:

Для числителя: f(x) = 1 - Cos(4x)

f'(x) = 0 - (-Sin(4x) * 4) = 4Sin(4x)

Для знаменателя: g(x) = 1 - корень(x^2+1)

g'(x) = 0 - (1/2)(x^2+1)^(-1/2) * 2x = -x/(x^2+1)^(1/2)

Второй шаг: Находим предел отношения производных.

Теперь найдем предел отношения производных f'(x)/g'(x) при x стремящемся к нулю:

lim(x->0) 4Sin(4x) / (-x/(x^2+1)^(1/2))

Третий шаг: Раскрываем синус.

Используя тригонометрическое тождество Sin(4x) = 2Sin(2x)Cos(2x), можем раскрыть синус:

lim(x->0) 4 * 2Sin(2x)Cos(2x) / (-x/(x^2+1)^(1/2))

Четвертый шаг: Упрощаем выражение.

Далее, можем упростить выражение:

lim(x->0) 8Sin(2x)Cos(2x) / (-x/(x^2+1)^(1/2))

lim(x->0) -8Sin(2x)Cos(2x) / x/(x^2+1)^(1/2)

Пятый шаг: Применяем правило Лопиталя еще раз.

Применяем правило Лопиталя еще раз, так как все еще получается выражение вида 0/0:

lim(x->0) -8 * (2Cos(2x)Cos(2x) - 2Sin(2x)Sin(2x)) / (1/(x^2+1)^(1/2) - x * (-1/2)(x^2+1)^(-3/2) * 2x)

Шестой шаг: Упрощаем выражение.

Упрощаем выражение:

lim(x->0) -8 * (2Cos^2(2x) - 2Sin^2(2x)) / (1/(x^2+1)^(1/2) + x^2/(x^2+1)^(3/2))

lim(x->0) -8 * 2Cos^2(2x) / (1/(x^2+1)^(1/2) + x^2/(x^2+1)^(3/2))

Седьмой шаг: Продолжаем применять правило Лопиталя.

Продолжаем применять правило Лопиталя еще раз:

lim(x->0) -8 * (2(-Sin(2x))(2) * 2Cos(2x)) / ((-1/2)(x^2+1)^(-3/2) * 2x + 2x/(x^2+1)^(3/2))

Восьмой шаг: Упрощаем выражение.

Далее, упрощаем выражение:

lim(x->0) -8 * (-4Sin(2x) * 2Cos(2x)) / (-x/(x^2+1)^(3/2) + 2x/(x^2+1)^(3/2))

lim(x->0) 64Sin(2x)Cos(2x) / x/(x^2+1)^(3/2)

Девятый шаг: Применяем правило Лопиталя в последний раз.

Применяем правило Лопиталя в последний раз:

lim(x->0) 64 * (2Cos(2x) * 2Cos(2x) - 2Sin(2x) * 2Sin(2x)) / (1/(x^2+1)^(3/2) + 3x^2/(x^2+1)^(5/2))

Десятый шаг: Упрощаем выражение.

Упрощаем выражение:

lim(x->0) 64 * (4Cos^2(2x) - 4Sin^2(2x)) / (1/(x^2+1)^(3/2) + 3x^2/(x^2+1)^(5/2))

lim(x->0) 64 * 4Cos^2(2x) / (1/(x^2+1)^(3/2) + 3x^2/(x^2+1)^(5/2))

Окончательный шаг: Подставляем x = 0.

Подставляем x = 0 в полученное выражение:

64 * 4Cos^2(0) / (1/(0^2+1)^(3/2) + 3 * 0^2/(0^2+1)^(5/2))

64 * 4 * 1 / (1/1^(3/2) + 0)

256 / (1/1 + 0)

256 / 1

Ответ: 256.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.