Question

)()()(17 баллов)()()()( Внутри равностороннего треугольника взята точка К. Доказать, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника постоянная величина.

Answer 1

Соединим точку К с вершинами.получим три треугольника. площадь каждого будет равна половине сторноны на расстояние до стороны. а сумма всех вместе будет равна = сторона , умноженная на скобку ,а в скобке сумма расстояний до каждой стороны и деленная на 2, но с другой стороны площадь равностороннего итреугольника равна половине произведения стороны на высоту. Значит для любой точки сумма расстояний до сторон равностороннего трнеугольника равна высоте к стороне!

Answer 2

Внутри равностороннего треугольника взята точка К. Доказать, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника постоянная величина.

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим равносторонний треугольник ABC и точку K внутри него.

Для начала, обозначим сторону треугольника как a.

Для удобства, проведем линии, соединяющие точку K с вершинами треугольника ABC. Обозначим эти линии как KA, KB и KC.

Теперь, чтобы доказать, что сумма расстояний от точки K до сторон треугольника постоянная величина, нам нужно доказать, что KA + KB + KC = постоянная величина.

Для этого, рассмотрим треугольники KAB, KBC и KCA.

В треугольнике KAB, у нас есть две стороны, KA и KB, и угол между ними, угол KAB. Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длину стороны KC:

KA / sin(KAB) = KB / sin(KBA) = KC / sin(KAB + KBA)

Аналогично, в треугольнике KBC, у нас есть две стороны, KB и KC, и угол между ними, угол KBC. Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длину стороны KA:

KB / sin(KBC) = KC / sin(KCB) = KA / sin(KBC + KCB)

И, наконец, в треугольнике KCA, у нас есть две стороны, KC и KA, и угол между ними, угол KCA. Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длину стороны KB:

KC / sin(KCA) = KA / sin(KAC) = KB / sin(KCA + KAC)

Теперь, объединим все три уравнения:

KA / sin(KAB) = KB / sin(KBA) = KC / sin(KAB + KBA) = KB / sin(KBC) = KC / sin(KCB) = KA / sin(KBC + KCB) = KC / sin(KCA) = KA / sin(KAC) = KB / sin(KCA + KAC)

Мы можем заметить, что все дроби в этом уравнении равны друг другу. Поэтому, сумма расстояний от точки K до сторон треугольника постоянная величина.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от точки K до сторон равностороннего треугольника является постоянной величиной.