Question

Докажите что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(3;5), B(-1;-1) C(-7:-5) и D(-3;1) является ромбом

Answer 1

Ответ:

так він є ромбом, тому що модулі векторів АВ,ВС,ДС,АД  рівні.

Пошаговое объяснение:

Знайдемо величину вектора АВ , АВ=(х2-х1)(у2-у1)=(-1-3)(-1-5)=(-4;-6)

ДС=(-7-(-3))(-5-1)=(-4;-6)

вектор ВС=АД=(-6;-4)   так як модулі усіх векторів(усіх сторін) однакові , можна сказати , що ця фігура є ромбом.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(3;5), B(-1;-1), C(-7:-5) и D(-3;1) является ромбом, мы должны проверить два условия: равенство длин всех сторон и равенство углов.

Длины сторон: Для начала, найдем длины всех сторон четырехугольника ABCD, используя формулу для расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] BC = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2] CD = √[(x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2] DA = √[(x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2]

Подставим значения координат вершин в формулу и вычислим длины сторон:

AB = √[(-1 - 3)^2 + (-1 - 5)^2] = √[16 + 36] = √52 BC = √[(-7 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2] = √[36 + 16] = √52 CD = √[(-3 - (-7))^2 + (1 - (-5))^2] = √[16 + 36] = √52 DA = √[(3 - (-3))^2 + (5 - 1)^2] = √[36 + 16] = √52

Убедимся, что все стороны имеют одинаковую длину, то есть AB = BC = CD = DA = √52. Если это условие выполняется, то мы можем продолжить с проверкой углов.

Углы: Чтобы доказать, что ABCD является ромбом, нам необходимо проверить, что все его углы равны.

Найдем углы ABC, BCD, CDA и DAB с использованием формулы для нахождения угла между двумя векторами:

Угол ABC = arccos[(AB * BC) / (|AB| * |BC|)] Угол BCD = arccos[(BC * CD) / (|BC| * |CD|)] Угол CDA = arccos[(CD * DA) / (|CD| * |DA|)] Угол DAB = arccos[(DA * AB) / (|DA| * |AB|)]

Подставим значения длин сторон и вычислим углы:

Угол ABC = arccos[(√52 * √52) / (√52 * √52)] = arccos[1] = 0° Угол BCD = arccos[(√52 * √52) / (√52 * √52)] = arccos[1] = 0° Угол CDA = arccos[(√52 * √52) / (√52 * √52)] = arccos[1] = 0° Угол DAB = arccos[(√52 * √52) / (√52 * √52)] = arccos[1] = 0°

Все углы ABCD равны 0°, что означает, что все углы равны между собой.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(3;5), B(-1;-1), C(-7:-5) и D(-3;1) является ромбом, так как все его стороны имеют одинаковую длину и все его углы равны.