Question

На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на первом станке равна 0.92, а на втором - 0,80. Изготовленные на обоих станках не рассортированные валики находятся на складе в случайно образовавшемся порядке. Среди них валиков, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Взятый наудачу со склада валик оказался высшего сорта. Определить вероятность того, что он произведен на первом станке. пожалуйста с объяснением

Answer 1

Гипотезы: B₁ - взятый валик с первого станка.

B₂ - взятый валик со второго станка.

Пусть на складе N₁ валиков с первого станка и N₂ валиков со второго станка. Тогда по условию N₁ = 3·N₂.

P(B₁) = N₁/(N₁+N₂) = (3N₂)/(3N₂+N₂) = (3N₂)/(4N₂) = 3/4.

P(B₂) = N₂/(N₁+N₂) = N₂/(3N₂+N₂) = N₂/(4N₂) = 1/4.

Пусть А - событие, что взятый на удачу валик оказался высшего сорта, тогда по формуле полной вероятности:

P(A) = P(A·B₁) + P(A·B₂) = P(B₁)·P(A|B₁) + P(B₂)·P(A|B₂)

По условию P(A|B₁) = 0,92 и P(A|B₂) = 0,8.

P(A) = (3/4)·0,92 + (1/4)·0,8.

P(A·B₁) = P(A)·P(B₁|A).

P(A·B₁) = P(B₁)·P(A|B₁).

P(A)·P(B₁|A) = P(B₁)·P(A|B₁).

По условию необходимо найти P(B₁|A), из последнего равенства имеем

P(B₁|A) = P(B₁)·P(A|B₁)/P(A)

(это формула Байеса)

P(B₁|A) = (3/4)·0,92/((3/4)·0,92 + (1/4)·0,8) =

= 3·0,92/(3·0,92 + 0,8) = 2,76/3,56 = 276/356 = 138/178 = 69/89.

Ответ. 69/89.

Answer 2

приведу решение другим способом

составим "дерево вероятности"

по условию "Среди них валиков, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором"- значит полная вероятность =1

тогда на 3х(1 станок)+х(второй станок)=1

тогда х= 0,25, 3х=0,75

теперь рисуем "дерево"

                                                        валики

                       1 станок 0,75                              2 станок 0,25

     высший сорт /не высший сорт    высший сорт/ не высший сорт

                0,92     /  0,08                                         0,8     /  0,2

тогда всего валиков высшего сорта  0,75*0,92+0,25*0,8=0,89

валиков высшего сорта с 1 станка 0,75*0,92= 0,69

Тогда выроятность валика высшего сорта с первого станка 0,69/0,89=69/89 ≈0,775

Answer 3

Problem Analysis

We are given two automatic machines that produce identical rolls. The probability of producing a top-grade roll on the first machine is 0.92, while on the second machine it is 0.80. The rolls produced by both machines are randomly stored on the warehouse shelf. Among these rolls, there are three times as many rolls produced on the first machine as on the second machine. We randomly select a roll from the warehouse shelf and find that it is a top-grade roll. We need to determine the probability that it was produced on the first machine.

Solution

To solve this problem, we can use Bayes' theorem. Bayes' theorem allows us to update our prior probability based on new evidence. In this case, our prior probability is the probability that the roll was produced on the first machine, and the new evidence is that the roll is a top-grade roll.

Let's define the following events: - A: The roll is produced on the first machine. - B: The roll is a top-grade roll.

We need to find P(A|B), the probability that the roll was produced on the first machine given that it is a top-grade roll.

According to Bayes' theorem, we have:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

We can calculate each of these probabilities step by step.

1. P(A): The probability that the roll is produced on the first machine. Given that there are three times as many rolls produced on the first machine as on the second machine, we can assume that the probability of selecting a roll from the first machine is 3/4, and the probability of selecting a roll from the second machine is 1/4.

P(A) = 3/4

2. P(B|A): The probability that the roll is a top-grade roll given that it is produced on the first machine. We are given that the probability of producing a top-grade roll on the first machine is 0.92.

P(B|A) = 0.92

3. P(B): The probability that the roll is a top-grade roll. We can calculate this probability using the law of total probability. The roll can either be produced on the first machine and be a top-grade roll, or it can be produced on the second machine and be a top-grade roll.

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|not A) * P(not A)

Since the rolls produced on the second machine are not top-grade rolls, we have:

P(B) = P(B|A) * P(A) + 0 * P(not A) = P(B|A) * P(A)

Substituting the values we have:

P(B) = 0.92 * (3/4) = 0.69

Now we can substitute these values into Bayes' theorem to find P(A|B):

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) = (0.92 * (3/4)) / 0.69 ≈ 0.87

Therefore, the probability that the roll was produced on the first machine, given that it is a top-grade roll, is approximately 0.87.

[[1]]