Question

Найти общее решение диференциального уравнения y'+2xy=2xe^-x2

Answer 1

$y'+2xy=2xe^{-x^2}\\ y'*e^{x^2}+y*2xe^{x^2}=2x\\ (y*e^{x^2})'_x=2x\\ y*e^{x^2}=x^2+C\\ y=(x^2+C)*e^{-x^2}$

Answer 2

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения, следует воспользоваться методом составления однородного и частного решений.

1. Найдем однородное решение уравнения y' + 2xy = 0: Для решения этого уравнения воспользуемся методом разделяющихся переменных. Разделим уравнение на y и получим: y'/y = -2x. Проинтегрируем обе части уравнения:

ln|y| = -x^2 + C1.

Здесь С1 - произвольная постоянная. Перейдем от логарифма к экспоненте:

|y| = e^(-x^2+C1) = e^C1 * e^(-x^2).

Поскольку e^C1 - также константа, заменим это произведение на новую постоянную С2:

|y| = C2e^(-x^2).

Вспоминая определение модуля, общее однородное решение можно записать в следующем виде:

y = ±C2e^(-x^2).

2. Найдем частное решение уравнения y' + 2xy = 2xe^(-x^2): Для нахождения частного решения воспользуемся вариацией постоянных методом. Предположим, что искомое частное решение имеет вид y = ue^(-x^2), где u - функция, подлежащая определению. Подставим это предположение в уравнение и решим относительно u:

(u'e^(-x^2) - 2xue^(-x^2)) + 2x(ue^(-x^2)) = 2xe^(-x^2).

Сокращаем на e^(-x^2):

u' - 2xu + 2xu = 2x.

Получаем: u' = 2x, u = x^2 + С3,

где С3 - произвольная постоянная. Таким образом, частное решение имеет вид:

y = (x^2 + С3)e^(-x^2).

3. Общее решение найдем как сумму однородного и частного решений:

y = ±C2e^(-x^2) + (x^2 + С3)e^(-x^2).

Здесь C2 и C3 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий или других дополнительных ограничений.