Question

Докажите,что отрезок,соединяющий середины диагоналей трапеции,параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Пусть трапеция АВСД. М и Н середины АВ и СД. К и Л-середины диагоналей АС и ВД.

Продолжимм  СЛ до пересечения с АД в точке   Р.   Треугольники ВСЛ и ЛРД равны по второму признаку. Значит КЛ - средняя линия в АСР и параллельна основанию.

Но тогда  КН=АД/2 (средняя  линия в АСД). ЛН= ВС/2.

Но тогда КЛ=КН-ЛН=(АД-ВС)/2, что и требуется.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований, давайте воспользуемся свойствами трапеции и геометрическими принципами.

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания трапеции, а AC и BD - ее диагонали. Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно.

1. Параллельность: Для начала докажем, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции AB и CD. Мы знаем, что середины диагоналей разделяют их пополам, поэтому AM = MC и BN = ND. Теперь рассмотрим треугольники AMN и CND. Они имеют общий угол при вершине N (так как N - середина диагонали BD), и у нас есть две пары равных сторон: AN = ND и MN (по построению) и AM = MC. По признаку угол-сторона (УСТ) для равнобедренных треугольников, угол AMN равен углу CND, и следовательно, отрезок MN параллелен основанию CD.

Аналогично, можно доказать, что отрезок MN также параллелен основанию AB.

2. Равенство длин: Докажем, что отрезок MN равен полуразности оснований трапеции. Мы знаем, что середины диагоналей делят их пополам, поэтому MN = (AC - BD) / 2. Теперь нам нужно выразить разность оснований AB и CD через диагонали.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они имеют общий угол при вершине A (или вершине D), и мы знаем, что AD = BC (диагонали трапеции равны). Таким образом, треугольники ABC и ADC равны по стороне-стороне-стороне (ССС), и угол BAC равен углу CAD. Это означает, что эти треугольники подобны.

Из подобия треугольников ABC и ADC мы можем записать следующее соотношение:

(AB / AD) = (BC / DC)

Теперь, зная, что AD = BC (диагонали равны), мы можем записать:

(AB / BC) = (BC / DC)

Умножим обе стороны на BC и DC:

AB = (BC^2) / DC

Теперь мы можем выразить разность оснований через диагонали:

AB - CD = (BC^2 / DC) - CD

Теперь, подставив это выражение в равенство для MN, получим:

MN = (AC - BD) / 2 MN = (AC - (BC^2 / DC)) / 2

Таким образом, мы видим, что отрезок MN равен полуразности оснований трапеции.

Итак, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.