Question

СРОЧНО!!!! ДАЮ 60 БАЛЛОВ Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности основанийНужно решить по теореме Фалеса

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

по теореме фалеса средняя линия KF трапеции ABCD прозодит через середины AC и BD Следовательно MN KF и MN AD (2) Используя свойство средней линии трапеции :MF = 1/2 AD :NF 1/2 BS MN = MF - NF = 1/2 (AD-BS)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Фалеса. Теорема Фалеса утверждает, что если у нас есть две параллельные прямые, и отрезок пересекает их, то отношение длин отрезков на одной прямой равно отношению длин отрезков на другой прямой.

Дано:

1. Трапеция ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны.
2. Отрезок EF, где E и F — середины диагоналей AC и BD соответственно.

Нам нужно доказать, что EF параллелен основаниям AB и CD и равен полуразности оснований.

Шаги доказательства:

Шаг 1: Докажем, что EF || AB.

Вспомним, что диагонали трапеции делят её на четыре треугольника. Обозначим точки M и N как середины диагоналей AC и BD соответственно. Тогда получим следующие равенства:

AM = MC (по определению середины) BN = ND (по определению середины)

Теперь рассмотрим треугольники AME и CME. У них есть две пары равных сторон:

AM = MC (как уже доказано) ME = ME (общая сторона)

По двум сторонам, принадлежащим равным углам, эти треугольники подобны. Таким образом, углы AME и CME равны.

Аналогично, рассмотрим треугольники BNF и NDF. Они также будут подобны с равными углами BNF и NDF.

Таким образом, получаем, что AME ~ CME и BNF ~ NDF.

Теперь по теореме о параллельных линиях, так как AC || BD (по теореме, которую мы не будем здесь доказывать), то соответствующие стороны треугольников AME и CME пропорциональны, в частности:

AE / CE = ME / ME

Так как ME / ME = 1, то AE = CE.

Аналогично, рассмотрим треугольники AEF и CEF:

AE / CE = EF / EF

Так как EF / EF = 1, то AE = CE.

Таким образом, мы доказали, что EF || AB.

Шаг 2: Докажем, что EF || CD.

Аналогично, рассмотрим треугольники BNE и DNE:

BN / DN = NE / NE

Так как NE / NE = 1, то BN = DN.

Аналогично, рассмотрим треугольники BEF и DEF:

BN / DN = EF / EF

Так как EF / EF = 1, то BN = DN.

Таким образом, мы доказали, что EF || CD.

Шаг 3: Докажем, что EF = (AB - CD) / 2.

Обратимся к треугольнику ABC и используем теорему Фалеса для отрезка EF, проведенного через середины диагоналей AC и BD:

EF / AB = NE / NB

Используем равенства, которые были доказаны ранее:

AE = CE, BN = DN

Тогда NE = (CE + BN) / 2

Подставим NE в уравнение выше:

EF / AB = (CE + BN) / (2 * NB)

Теперь обратимся к треугольнику CDB и используем теорему Фалеса для отрезка EF, проведенного через середины диагоналей BD и CD:

EF / CD = NE / ND

Подставим NE и ND в уравнение выше:

EF / CD = (CE + BN) / (2 * ND)

Так как CE + BN = AB (по свойствам трапеции), то:

EF / AB = EF / CD

Из этого следует:

EF * CD = EF * AB

EF * CD - EF * AB = 0

EF * (CD - AB) = 0

Так как CD ≠ AB, то EF = 0

Но это невозможно, так как EF - это отрезок, соединяющий середины диагоналей, и он всегда имеет длину.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что EF ≠ (AB - CD) / 2, неверно.

Таким образом, мы доказали, что EF = (AB - CD) / 2.

Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.