Question

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 со стороной основания √3 и боковым ребром 1. Найдите угол между прямыми BF1 и CD1.

Answer 1

Пусть В - начало координат

Ось Х - ВС

Ось У - ВF

Ось Z - BB1

Вектора

ВF1 (0;3;1)

CD1(√3/2;3/2;1)

Косинус искомого угла

| ВF1*CD1 | / | BF1 | / | CD1 | = (9/2 +1) / √( 9+1) / √ ( 3/4 + 9/4+1) = 11 / 2 / √10 /2 = 11 √10 / 40

Answer 2

Для нахождения угла между прямыми BF1 и CD1 в данной правильной шестиугольной призме, сначала нам нужно определить геометрические свойства фигуры. Давайте разберемся с данной призмой.

Правильная шестиугольная призма имеет следующие характеристики: 1. Все боковые грани шестиугольника равны между собой. 2. Все углы между боковыми гранями и боковыми ребрами равны 120 градусам (360 градусов / 3).

Поскольку боковое ребро призмы имеет длину 1, у нас есть правильный треугольник для каждой боковой грани, и его угол при вершине равен 120 градусам.

Теперь давайте рассмотрим треугольник B1BF1 и треугольник C1CD1:

1. В треугольнике B1BF1: - Один угол равен 120 градусам (угол при вершине призмы). - Длина стороны BF1 равна 1 (боковое ребро призмы).

2. В треугольнике C1CD1: - Один угол равен 120 градусам (угол при вершине призмы). - Длина стороны CD1 равна √3 (сторона основания призмы).

Для нахождения угла между прямыми BF1 и CD1, мы можем воспользоваться косинусным правилом для треугольников. Это правило утверждает, что косинус угла между двумя сторонами треугольника можно найти с помощью следующей формулы:

\[ \cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

Где: - \(\theta\) - искомый угол между сторонами. - \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника. - \(c\) - длина стороны, противолежащей искомому углу.

Давайте применим это правило к треугольнику B1BF1 и треугольнику C1CD1.

Для треугольника B1BF1: - \(a = 1\) (сторона BF1). - \(b = 1\) (сторона BF1). - \(c = 120\) градусов (угол при вершине призмы).

Для треугольника C1CD1: - \(a = 1\) (сторона CD1). - \(b = √3\) (сторона CD1). - \(c = 120\) градусов (угол при вершине призмы).

Теперь мы можем вычислить косинусы углов в обоих треугольниках:

Для треугольника B1BF1: \[ \cos(\theta) = \frac{1^2 + 1^2 - 120^2}{2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{1 + 1 - 14400}{2} = \frac{-14398}{2} = -7199 \]

Для треугольника C1CD1: \[ \cos(\theta) = \frac{1^2 + (√3)^2 - 120^2}{2 \cdot 1 \cdot √3} = \frac{1 + 3 - 14400}{2√3} = \frac{-14396}{2√3} = -7198√3 \]

Теперь, чтобы найти угол между прямыми BF1 и CD1, нужно найти угловую меру, используя обратный косинус (арккосинус):

Для треугольника B1BF1: \[ \theta_1 = \arccos(-7199) \]

Для треугольника C1CD1: \[ \theta_2 = \arccos(-7198√3) \]

Итак, угол между прямыми BF1 и CD1 составит: \[ \theta = θ1 - θ2 \]

Подставьте значения в выражение и вычислите угол.