Question

из ста натуральных чисел 1,2,3... 100 выбрали несколько чисел и расположили их в ряд так, чтобы произведение любых двух соседних чисел делилось на 40. Могло ли быть выбрано 40 чисел?

Answer 1

Ответ:

думаю да

томущо воно ділиться на 40

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос.

Из ста натуральных чисел 1, 2, 3, ... 100 можно выбрать не более 39 чисел и расположить их в ряд так, чтобы произведение любых двух соседних чисел делилось на 40. Объяснение:

- Чтобы произведение двух чисел делилось на 40, оно должно иметь в своём разложении на простые множители хотя бы две двойки и одну пятёрку. Это означает, что каждое из этих чисел должно быть кратно либо 4, либо 5, либо 20. - Из ста натуральных чисел есть 25 чисел, кратных 4 (4, 8, 12, ..., 96), 20 чисел, кратных 5 (5, 10, 15, ..., 100) и 5 чисел, кратных 20 (20, 40, 60, 80, 100). Всего получается 50 чисел, кратных одному из этих делителей. - Однако среди них есть 11 чисел, которые кратны сразу двум делителям: это числа вида 20k, где k = 1, ..., 5. Эти числа не могут быть соседними в ряду, так как их произведение будет кратно 400, а не 40. - Значит, из этих 11 чисел можно выбрать только одно и поставить его в начало или конец ряда. Остальные 39 чисел можно выбрать из оставшихся 39 кратных одному из делителей. - Пример такого ряда: 20, 4, 5, 8, 15, ..., 96.