Question

За каждым из двух круглых столиков сидит по n гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый стол так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой. Он имеет возможность подружить 2n пар гномов (гномы в паре могут быть как с одного столика, так и с разных), но после этого злой волшебник поссорит между собой nn пар гномов из этих 2n пар. При каких n добрый волшебник может добиться желаемого, как бы ни действовал злой волшебник?

Answer 1

Ответ:

Предположим, один из выбранных гномов говорит правду. Тогда его сосед справа лжец. Лжец, утверждая, что его сосед справа лжец лжет, следовательно сосед лжеца говорит правду.

Таким образом, рядом с каждым говорящим правду сидит с правой стороны лжец, и рядом с каждым лжецом сидит с правой стороны говорящий правду гном, то есть говорящие правду и лжецы сидят за этим столом черед одного.

Число сидящих за столом гномов 12 - четное, поэтому это чередование не нарушается. За столом сидит 6 говорящих правду гномов и 6 лжецов.

Ответ: за столом 6 лжецов.

Answer 2

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

У нас есть два круглых стола, и на каждом из них сидит по n гномов. Гномы дружат только с соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за одним круглым столом так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой.

Сначала давайте рассмотрим ситуацию для одного стола. Если у нас есть n гномов за одним круглым столом, то они должны быть рассажены так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой. Для этого нам нужно соблюсти два условия:

1. Гномы сидят в парах (кроме одного случая, если n - нечетное), где каждая пара состоит из двух соседних гномов.

2. Гномы сидят в таком порядке, чтобы крайние гномы также дружили друг с другом.

Это условие можно соблюсти для любого четного n и нечетного n, кроме случая, когда n = 1.

Теперь перейдем к ситуации с двумя столами. У нас есть 2n гномов, и добрый волшебник хочет рассадить их так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой. Это означает, что у нас должно быть 2n гномов, разделенных на n пар, где каждая пара дружит друг с другом.

Добрый волшебник имеет возможность подружить 2n пар гномов. Это можно сделать, рассаживая каждую пару гномов так, как описано выше, за двумя круглыми столами. Затем злой волшебник поссорит nn пар гномов из этих 2n пар. Однако, даже если он поссорит nn пар гномов, у нас останется n пар гномов, которые дружат друг с другом.

Итак, добрый волшебник может добиться желаемого результата при любом четном n, включая случай n = 2 (два гнома на каждом столе). В этих случаях он может подружить гномов так, чтобы каждая пара дружила друг с другом, и даже после действий злого волшебника останется хотя бы одна дружеская пара.