Question

Если у(х)–решение дифференциального уравнения y'=cos2x*y удовлетворяющее условию у(0)=1 тогда у(3pi) равно... Чему равно?

Answer 1

Ответ:  1.

Пошаговое объяснение: смотри прикреплённое изображение ===>>

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение и найдем его решение. У нас есть дифференциальное уравнение: y' = cos(2x) * y Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, и оно нелинейное из-за присутствия произведения y и cos(2x). Для того чтобы найти его решение, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте разделим переменные, переместив все, связанное с y, на одну сторону уравнения, а все, связанное с x, на другую сторону: y' / y = cos(2x) Теперь мы можем воспользоваться интегрированием с обеих сторон уравнения: ∫(1/y) dy = ∫cos(2x) dx Интеграл ∫(1/y) dy дает нам ln|y| + C1, где C1 - константа интегрирования, а ∫cos(2x) dx дает нам (1/2)sin(2x) + C2, где C2 - тоже константа интегрирования. Итак, мы имеем: ln|y| + C1 = (1/2)sin(2x) + C2 Теперь давайте избавимся от логарифма, возводя обе стороны уравнения в экспоненту: |y| = e^((1/2)sin(2x) + C2 - C1) Теперь учтем константы C1 и C2: |y| = e^((1/2)sin(2x) + C2 - C1) Теперь, чтобы избавиться от модуля, мы можем ввести два случая: y > 0 и y < 0. Давайте начнем с y > 0: y = e^((1/2)sin(2x) + C2 - C1) Теперь мы можем рассмотреть случай y < 0: -y = e^((1/2)sin(2x) + C2 - C1) Оба эти случая представляют общее решение дифференциального уравнения. Теперь, учитывая начальное условие y(0) = 1, мы можем найти значение константы C2 - C1: 1 = e^(0 + C2 - C1) Так как e^0 = 1, у нас получается: 1 = e^(C2 - C1) Отсюда следует, что C2 - C1 = 0, и C2 = C1. Теперь, чтобы найти y(3π), мы можем подставить x = 3π в оба уравнения (y > 0 и y < 0) с полученным значением C2 - C1: y(3π) = e^((1/2)sin(2(3π)) + C2 - C1) для случая y > 0 или y(3π) = -e^((1/2)sin(2(3π)) + C2 - C1) для случая y < 0 Теперь, давайте вычислим sin(6π). Синус 6π равен 0, так как sin(π) = 0 и sin(2π) = 0. Таким образом: sin(6π) = 0 Итак, у нас есть: y(3π) = e^(0 + C2 - C1) для случая y > 0 или y(3π) = -e^(0 + C2 - C1) для случая y < 0 Это значит, что y(3π) равно: y(3π) = e^(C2 - C1) для случая y > 0 или y(3π) = -e^(C2 - C1) для случая y < 0 Исходя из нашего ранее найденного C2 - C1 = 0, мы можем заключить, что: y(3π) = e^0 = 1 для случая y > 0 или y(3π) = -e^0 = -1 для случая y < 0 Таким образом, y(3π) равно 1, если y > 0, и -1, если y < 0.