Question

Знайдіть інтегральну криву диференціального рівняння [tex]y'-\frac{2y}{x+1} =x, якій належить точка М(0;5)

Answer 1

Ответ:

$y=(x+1)^2\ln|x+1|+4(x+1)^2+x+1$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для пошуку інтегральної кривої диференціального рівняння потрібно знайти функцію, яка задовольняє це рівняння і таку, що прходить через точку M(0,5). Почнемо з самого диференціального рівняння: y' - 2y/(x+1) = x Замінимо змінну y' на dy / dx: dy / dx - 2y/(x+1) = x Згрупуємо всі y-терми в одну сторону, a x-терми в іншу сторону: dy - 2y dx / (x+1) = x dx Поділимо обидві сторони на dy і x+1: dy / (x+1) - 2y dx / (x+1) = (x dx) / (x+1) Після спрощення отримаємо: dy - 2y dx = (x dx) / (x+1) Тепер вводимо інтегруючий множник, яким можна помножити обидві сторони, щоб ліва сторона стала повним диференціалом: Множник = експонента від інтегралу коефіцієнта при dy: Множник = exp( integral(-2 dx) ) = exp(-2x) Множимо обидві сторони на експоненту: exp(-2x) (dy - 2y dx) = exp(-2x) (x dx) / (x+1) Завдяки множнику ліва сторона стає повним диференціалом: d( exp(-2x) y ) = (x exp(-2x) dx) / (x+1) Інтегруємо обидві сторони: ∫ d( exp(-2x) y ) = ∫ (x exp(-2x) dx) / (x+1) exp(-2x) y = ∫ (x exp(-2x) dx) / (x+1) + C Застосуємо узагальнену формулу інтеграла за частинами для правої сторони: ∫ (x exp(-2x) dx) = (-1/2) * x * exp(-2x) - ∫ (-1/2) * exp(-2x) dx ∫ (x exp(-2x) dx) = (-1/2) * x * exp(-2x) + (1/4) * exp(-2x) + C' Тепер можемо замінити підінтегральну частину у рівнянні: exp(-2x) y = (-1/2) * x * exp(-2x) - (1/4) * exp(-2x) + C + C' exp(-2x) y = (-1/2) * x * exp(-2x) - (1/4) * exp(-2x) + K, де K = C + C' Звідси можемо виразити y: y = (-1/2) * x - (1/4) + K * exp(2x) В задачі задано, що точка M(0,5) належить інтегральній кривій. Підставимо координати точки M у загальну формулу для y: 5 = (-1/2) * 0 - (1/4) + K * exp(2*0) 5 = (-1/4) + K K = 21/4 Таким чином, загальна формула для інтегральної кривої диференціального рівняння y' - 2y/(x+1) = x, яка проходить через точку M(0,5), є: y = (-1/2) * x - (1/4) + (21/4) * exp(2x)