Question

Помогите срочно. найдите одну из первообразных функции: f(x)= (2x+1) * квадратный корень из x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=2x*x^(1/2)+x^(1/2)=2x^(3/2)+x^(1/2)

F(x)=2*x^(5/2)/ 5/2+x^(3/2) /3/2+c=  4*x^(5/2) /5+2*x^(3/2) /3+c

Answer 2

Для нахождения первообразной функции \(F(x)\) для заданной функции \(f(x) = (2x + 1) \cdot \sqrt{x}\), мы будем использовать интегрирование. Первообразная функция - это функция, производная которой равна заданной функции. То есть, нам нужно найти \(F(x)\) такую, что \(F'(x) = f(x)\). Интегрирование данной функции может быть немного сложным, но мы можем разделить её на две части и проинтегрировать каждую из них по отдельности. Давайте начнем с этого: \[ F(x) = \int (2x + 1) \sqrt{x} \, dx \] Сначала проинтегрируем \(2x \sqrt{x}\): \[ \int 2x \sqrt{x} \, dx \] Мы можем использовать интеграл по частям, где \(u = 2x\) и \(dv = \sqrt{x} \, dx\): \[ \begin{align*} du &= 2 \, dx \\ v &= \frac{2}{3}x^{3/2} \end{align*} \] Теперь применим формулу интеграла по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] \[ \int 2x \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - \int \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot 2 \, dx \] Сокращаем константу: \[ \int 2x \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{4}{3} \int x^{3/2} \, dx \] Теперь проинтегрируем \(\int x^{3/2} \, dx\): \[ \int x^{3/2} \, dx \] Используем степенное правило для интегрирования: \[ \int x^{3/2} \, dx = \frac{2}{5}x^{5/2} \] Теперь подставим это обратно в нашу первообразную: \[ \int 2x \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5}x^{5/2} + C \] Сократим дроби: \[ \int 2x \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{8}{15}x^{5/2} + C \] Теперь у нас есть первообразная для первой части функции. Теперь найдем первообразную для второй части \(\int \sqrt{x} \, dx\): \[ \int \sqrt{x} \, dx \] Используем степенное правило для интегрирования: \[ \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \] Теперь у нас есть первообразная для второй части. Теперь объединим обе части: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{8}{15}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C \] Сложим члены: \[ F(x) = \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{8}{15}x^{5/2} + C \] Таким образом, первообразная функции \(f(x) = (2x + 1) \sqrt{x}\) равна: \[ F(x) = \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{8}{15}x^{5/2} + C \] где \(C\) - произвольная постоянная.