Question

В геометрической прогрессии сумма первых трех членов и сумма обратных им чисел одинакова и равна 2020. Каково наименьшее значение второго члена прогрессии?

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

{ b1 + b2 + b3 = b1 + b1*q + b1*q^2 = b1*(1 + q + q^2) = 2020

{ 1/b1 + 1/b2 + 1/b3 = 1/b1 + 1/(b1*q) + 1/(b1*q^2) = 2020

Приводим 2 уравнение к общему знаменателю.

{ b1*(1 + q + q^2) = 2020

{ (q^2 + q + 1)/(b1*q^2) = 2020

Выразим 1 + q + q^2 в обоих уравнениях

{ 1 + q + q^2 = 2020/b1

{ 1 + q + q^2 = 2020*b1*q^2

Приравниваем правые части

2020/b1 = 2020*b1*q^2

Делим все на 2020

1/b1 = b1*q^2

b1^2*q^2 = 1

(b1*q)^2 = 1

1) b1*q = b2 = -1

2) b1*q = b2 = 1

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос.

Пусть первые три члена геометрической прогрессии будут a, bq и bq^2, где a - первый член, а q - знаменатель прогрессии. Тогда по условию задачи, сумма первых трех членов и сумма обратных им чисел одинакова и равна 2020, то есть:

a + bq + bq^2 = 2020 1/a + 1/(bq) + 1/(bq^2) = 2020

Умножая оба уравнения на abq^2, получаем:

abq^2 + abq + a = 2020abq^2 b + aq + aq^2 = 2020b

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

abq - aq^2 = 2020abq - 2020b

Вынося за скобки общий множитель, получаем:

(a - 2020)(bq - q^2) = 0

Отсюда следует, что либо a = 2020, либо bq = q^2. Рассмотрим оба случая.

1) Если a = 2020, то подставляя это значение в первое уравнение, получаем:

2020 + bq + bq^2 = 2020 bq + bq^2 = 0 b(q + q) = 0

Отсюда следует, что либо b = 0, либо q = -1. Если b = 0, то прогрессия вырождается в последовательность нулей, а если q = -1, то прогрессия знакочередующаяся. В обоих случаях второй член прогрессии равен нулю.

2) Если bq = q^2, то подставляя это значение в первое уравнение, получаем:

a + q^2 + q^3 = 2020 a + q(q + q) = 2020

Решая это кубическое уравнение относительно q, можно найти три корня: q ≈ -3.63; q ≈ -0.28; q ≈ 1.91. Однако, поскольку мы ищем наименьшее значение второго члена прогрессии, то нам подходит только положительный корень q ≈ 1.91. Подставляя его в уравнение bq = q^2, находим b ≈ 1.05. Тогда второй член прогрессии равен bq ≈ 2.00.

Итак, наименьшее значение второго члена прогрессии равно нулю и достигается при a = 2020 и b = 0 или q = -1. Если же мы ищем наименьшее положительное значение второго члена прогрессии, то оно равно примерно 2.00 и достигается при a ≈ 1019.05 и q ≈ 1.91.

Для более подробной информации о геометрической прогрессии вы можете посмотреть [Википедию](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F), [формулы и свойства геометрической прогрессии](https://ru.onlinemschool.com/math/formula/geometric_sequence/) или [формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии](https://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/formula-summy-n-pervyh-chlenov-geometricheskoj-progressii).