Question

При каких значениях параметра а уравнение х^2-2ах+2а-1=0 имеет два разных решения противоположного знака?

Answer 1

Ответ: a < 0,5.

Пошаговое объяснение:

Во первых, найдем дискриминант, чтобы доказать, что уравнение может иметь решение:

D = b² - 4ac = (-2a)² - 4(2a - 1) = 4a² - 8a + 4 = (2a - 2)².

Дискриминант неотрицателен при всех значениях параметра, т.е. уравнение имеет хотя бы 1 корень при любых значениях параметра а.

Чтобы корней было 2, необходимо выполнение условия D ≠ 0: 2a - 2 ≠ 0 ⇒ a ≠ 1.

Так как корни по условию должны иметь противоположные знаки, достаточно того, чтобы их произведение было отрицательным числом, т.е. x₁x₂ < 0

По теореме Виета x₁x₂ = 2a - 1.

2a - 1 < 0; 2a < 1 ⇒ a < 0,5.

Answer 2

Дано уравнение х^2-2ах+2а-1=0. Для того чтобы уравнение имело два разных решения противоположного знака, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравнения был положительным числом. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае, уравнение имеет вид х^2-2ах+2а-1=0, поэтому: a = -2a, b = -2, c = 2a - 1. Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта: D = (-2)^2 - 4(-2a)(2a-1), D = 4 + 16a^2 - 16a + 8a, D = 16a^2 - 8a + 4. Дискриминант должен быть положительным числом: 16a^2 - 8a + 4 > 0. Чтобы решить неравенство, найдем корни квадратного трехчлена: D = (-8)^2 - 4 * 16 * 4 = 64 - 256 = -192. Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, при любом значении параметра а, уравнение х^2-2ах+2а-1=0 не имеет двух разных решений противоположного знака.