Question

Y=x^4-2x^2 Исследовать функцию при помощи производной

Answer 1

y=4x^3-4x примерно так, :) 

Answer 2

Для исследования функции Y = x^4 - 2x^2 с помощью производной, мы должны анализировать ее производные первого и второго порядка. 1. Производная первого порядка: Для нахождения производной функции Y по переменной x, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности: Y' = (4x^3) - (4x) Упростим это выражение: Y' = 4x(x^2 - 1) Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: 4x(x^2 - 1) = 0 Так как 4x не может быть равно нулю, то получаем два возможных решения: x = 0 и x^2 - 1 = 0 Решая второе уравнение, получаем: x^2 = 1 x = ±1 Таким образом, у нас есть три критические точки: x = -1, x = 0 и x = 1. 2. Производная второго порядка: Для нахождения производной второго порядка функции Y, возьмем производную производной первого порядка: Y'' = 12x^2 - 4 Упростим это выражение: Y'' = 4(3x^2 - 1) Теперь мы можем проанализировать поведение функции в окрестности найденных критических точек: а) x = -1: Подставляем x = -1 в исходное выражение для Y: Y = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 То есть, в точке x = -1 функция принимает значение Y = -1. b) x = 0: Подставляем x = 0 в исходное выражение для Y: Y = 0^4 - 2(0)^2 = 0 - 0 = 0 То есть, в точке x = 0 функция принимает значение Y = 0. c) x = 1: Подставляем x = 1 в исходное выражение для Y: Y = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 То есть, в точке x = 1 функция принимает значение Y = -1. Теперь мы можем нарисовать график функции Y = x^4 - 2x^2 и использовать полученную информацию для анализа ее поведения в разных областях. В точках x = -1 и x = 1 функция имеет локальные минимумы, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный. В точке x = 0 функция имеет локальный максимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный. Также, график функции Y = x^4 - 2x^2 является симметричным относительно оси y, так как все члены степени четыре и два не зависят от знака переменной x. Надеюсь, эта информация поможет вам понять исследование функции Y = x^4 - 2x^2 с помощью производной. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.