Question

дан треугольник ABC в котором AB=7, BC=9, и проведена прямая BD, которая делит треугольник на две части, площади которых относятся как 7:9. докажите что BD- биссектриса угла ABC

Answer 1

Sтреугольника = 0.5*AB*BC*sin(a) 

S(ABD)=0.5*7*a*sin(f)

S(BDC)=0.5*9*sin(g)

S(ABD)/S(BDC)=0.5*7*a*sin(f)/0.5*9*sin(g)=7*sin(f)/9*sin(g)

по условию отношение площадей маленьких трекгольников 7/9 то sin(f)=sin(g)

учитывая что угол треугольника изменяется строго от нуля до пи, делаем вывод что углы равны. чтд вот

Answer 2

Чтобы доказать, что отрезок BD является биссектрисой угла ABC, мы должны проверить, что отношение площадей треугольников ABD и CBD равно отношению длин отрезков AB и BC. Пусть S1 будет площадью треугольника ABD, а S2 - площадью треугольника CBD. По условию, отношение площадей треугольников S1 и S2 составляет 7:9, то есть S1/S2 = 7/9. Также известно, что AB = 7 и BC = 9. Мы можем записать следующее соотношение для площадей треугольников: S1 = (1/2) * AB * BH, S2 = (1/2) * BC * CH, где BH и CH - высоты треугольников ABD и CBD соответственно. Заметим, что высоты BH и CH являются перпендикулярными отрезками к прямой BD из вершин A и C соответственно. Так как площади треугольников S1 и S2 имеют отношение 7:9, мы можем записать следующее соотношение: (1/2) * AB * BH / ((1/2) * BC * CH) = 7/9. Упростив это уравнение, мы получим: AB * BH / BC * CH = 7/9. Так как AB = 7 и BC = 9, мы можем заменить эти значения в уравнение, получая: 7 * BH / 9 * CH = 7/9. Упростим это уравнение, разделив обе части на 7: BH / CH = 1/9. Это соотношение показывает, что отношение длин отрезков BH и CH равно 1:9. Так как BH и CH являются высотами, они перпендикулярны к BD. Из этого следует, что BD является биссектрисой угла ABC. Таким образом, мы доказали, что отрезок BD является биссектрисой угла ABC.