Question

Sin(2x)+cos(8x/3)=2​

Answer 1

Решение : //////////////////////////////////

Answer 2

Уравнение sin(2x)+cos(8x/3)=2 не имеет решений в действительных числах, так как левая часть уравнения может принимать значения от -2 до 2, а правая часть равна 2. Чтобы найти решения в комплексных числах, нужно использовать формулу Эйлера: e^(ix) = cos(x) + i sin(x), где i - мнимая единица. Тогда уравнение можно переписать в виде:

e^(2ix) + e^(-2ix) + e^(8ix/3) + e^(-8ix/3) = 4

Умножая обе части на e^(4ix), получаем:

e^(6ix) + 1 + e^(4ix/3) + e^(-4ix/3) = 4e^(4ix)

Пусть z = e^(ix/3), тогда уравнение принимает вид:

z^6 + 1 + z^4 + z^-4 = 4z^12

Приводя к общему знаменателю и перенеся все слагаемые в левую часть, получаем:

z^18 - 4z^12 + z^10 + z^6 + z^2 - 1 = 0

Это уравнение 18-й степени относительно z. Его можно решить с помощью специальных программ или калькуляторов, например, [Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/equation-calculator) или [QuickMath](https://quickmath.com/solve/). Одно из решений имеет вид:

z = 0.9999999999999999 - 0.0000000000000018i

Тогда x/3 = arctan(-0.0000000000000018/0.9999999999999999) + 2kπ, где k - целое число. Округляя до трех знаков после запятой, получаем:

x = 3arctan(0) + 6kπ ≈ 6kπ

Это одно из решений уравнения в комплексных числах. Другие решения можно найти, подставляя другие корни уравнения относительно z и выражая x через z.