Question

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 16875. Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Answer 1

Ответ:

1120

Пошаговое объяснение:

16875=3*3*3*5*5*5*5=3*9*5*5*5*5

т.е. возможны варианты, когда в числе семь цифр больше 1 и возможны варианты, когда 6 цифр больше 1

в первом варианте число перестановок с повторениями:

$p1 = \frac{8!}{1! \times 3! \times 4!} = \frac{5 \times 6 \times 7 \times 8}{1 \times 2 \times 3} = 280$

во втором варианте:

$p2 = \frac{8!}{2! \times 1! \times 1! \times 4!} = \frac{5 \times 6 \times 7 \times 8}{2} = 280 \times 3$

в сумме получается:

280+280*3=280*4=1120

Answer 2

Чтобы найти количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 16875, мы можем разбить это задание на две части: нахождение всех разложений числа 16875 на произведение восьми цифр и нахождение всех возможных перестановок каждого разложения. Сначала разложим число 16875 на произведение восьми цифр. Заметим, что данное число не имеет однозначных делителей, поэтому нам понадобятся только делители, состоящие из двух, трех, четырех и шести цифр. Исходя из этих предпосылок, мы можем найти разложения числа 16875 следующим образом: 1) Разложения на два множителя: - 1 * 16875 = 16875 * 1 2) Разложения на три множителя: - 1 * 3 * 5625 = 5625 * 3 * 1 - 1 * 5 * 3375 = 3375 * 5 * 1 - 1 * 15 * 1125 = 1125 * 15 * 1 - 1 * 25 * 675 = 675 * 25 * 1 - 1 * 75 * 225 = 225 * 75 * 1 - 3 * 5 * 1125 = 1125 * 5 * 3 - 3 * 15 * 375 = 375 * 15 * 3 - 3 * 25 * 225 = 225 * 25 * 3 - 3 * 75 * 75 = 75 * 75 * 3 - 5 * 15 * 225 = 225 * 15 * 5 - 5 * 25 * 135 = 135 * 25 * 5 - 5 * 75 * 45 = 45 * 75 * 5 - 15 * 25 * 45 = 45 * 25 * 15 3) Разложения на четыре множителя: - 1 * 3 * 15 * 375 = 375 * 15 * 3 * 1 - 1 * 3 * 25 * 225 = 225 * 25 * 3 * 1 - 1 * 3 * 75 * 75 = 75 * 75 * 3 * 1 - 1 * 5 * 15 * 225 = 225 * 15 * 5 * 1 - 1 * 5 * 25 * 135 = 135 * 25 * 5 * 1 - 1 * 5 * 75 * 45 = 45 * 75 * 5 * 1 - 1 * 15 * 25 * 45 = 45 * 25 * 15 * 1 - 3 * 5 * 15 * 225 = 225 * 15 * 5 * 3 - 3 * 5 * 25 * 135 = 135 * 25 * 5 * 3 - 3 * 5 * 75 * 45 = 45 * 75 * 5 * 3 - 3 * 15 * 25 * 45 = 45 * 25 * 15 * 3 - 5 * 15 * 25 * 27 = 27 * 25 * 15 * 5 4) Разложения на шесть множителей: - 1 * 3 * 5 * 15 * 45 * 25 = 25 * 45 * 15 * 5 * 3 * 1 Теперь найдем все возможные перестановки каждого разложения. 1) Для разложений на два множителя: - 16875 * 1 - 1 * 16875 2) Для разложений на три множителя: - 5625 * 3 * 1 - 3 * 5625 * 1 - 1 * 3 * 5625 - 3375 * 5 * 1 - 5 * 3375 * 1 - 1 * 5 * 3375 - 1125 * 15 * 1 - 15 * 1125 * 1 - 1 * 15 * 1125 - 675 * 25 * 1 - 25 * 675 * 1 - 1 * 25 * 675 - 225 * 75 * 1 - 75 * 225 * 1 - 1 * 75 * 225 - 1125 * 5 * 3 - 5 * 1125 * 3 - 3 * 5 * 1125 - 375 * 15 * 3 - 15 * 375 * 3 - 3 * 15 * 375 - 225 * 25 * 3 - 25 * 225 * 3 - 3 * 25 * 225 - 75 * 75 * 3 - 75 * 3 * 75 - 3 * 75 * 75 - 225 * 15 * 5 - 15 * 225 * 5 - 5 * 15 * 225 - 135 * 25 * 5 - 25 * 135 * 5 - 5 * 25 * 135 - 75 * 45 * 5 - 45 * 75 * 5 - 5 * 45 * 75 - 45 * 25 * 15 - 25 * 45 * 15 - 15 * 25 * 45 3) Для разложений на четыре множителя: - 375 * 15 * 3 * 1 - 15 * 375 * 3 * 1 - 3 * 15 * 375 * 1 - 225 * 25 * 3 * 1 - 25 * 225 * 3 * 1 - 3 * 25 * 225 * 1 - 75 * 75 * 3 * 1 - 75 * 3 * 75 * 1 - 3 * 75 * 75 * 1 - 225 * 15 * 5 * 1 - 15 * 225 * 5 * 1 - 5 * 15 * 225 * 1 - 135 * 25 * 5 * 1 - 25 * 135 * 5 * 1 - 5 * 25 * 135 * 1 - 75 * 45 * 5 * 1 - 45 * 75 * 5 * 1 - 5 * 45 * 75 * 1 - 45 * 25 * 15 * 1 - 25 * 45 * 15 * 1 - 15 * 25 * 45 * 1 4) Для разложения на шесть множителей: - 25 * 45 * 15 * 5 * 3 * 1 - 45 * 15 * 5 * 3 * 25 * 1 Так как мы нашли все возможные разложения числа 16875 на произведение восьми цифр и все их перестановки, мы можем соединить результаты из каждой группы. Таким образом, общее количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 16875, составит 56 (1 + 2 + 22 + 31).