Question

Выполнить сл. задания: С помощью опреленного интеграла вычислить площади сл. функции: у= х^2-2х+2; у= 0, х= -1, х=2 у=2cos x; y=0; x=¶/6; x=¶/3 у= -〖 х〗^2+3х-2; у= 0

Answer 1

Площадь фигуры, заключенной между кривыми f(x), g(x) на отрезке x∈[a,b] вычисляется по формуле:

$S = \int\limits^b_{a} |(f(x)-g(x)|} \, dx$.

1) $S = \int\limits^2_{-1} {(x^2-2x+2)} \, dx = (\frac{x^3}{3}-x^2 + 2x)|\limits^2_{-1} = (\frac{8}{3}-4+4) - (-\frac{1}{3}-1-2) = \frac{9}{3} + 3 = 6$

2) $S = \int\limits^{\pi/3}_{\pi/6} {2\cos x} \, dx = 2\sin x|\limits^{\pi/3}_{\pi/6} = 2( \sin \frac{\pi}{3}- \sin \frac{\pi}{6}) = 2\frac{\sqrt{3}-1}{2} = \sqrt{3}-1$

Answer 2

1) Для вычисления площади между кривой y = x^2 - 2x + 2, осью OX и прямыми x = -1 и x = 2, можно использовать определенный интеграл. Первым шагом найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 2x + 2 со значениями х = -1 и х = 2: x^2 - 2x + 2 = 0 (x - 1)^2 + 1 = 0 (x - 1)^2 = -1 Решений данного уравнения в действительных числах не существует, что означает, что кривая y = x^2 - 2x + 2 не пересекает прямые x = -1 и x = 2. Таким образом, площадь между кривой, осью OX и прямыми x = -1 и x = 2 будет равна 0. 2) Для вычисления площади между кривой y = 2cos(x), осью OX и прямыми x = π/6 и x = π/3, также используем определенный интеграл. Точки пересечения кривой y = 2cos(x) со значениями x = π/6 и x = π/3 равны: 2cos(x) = 0 cos(x) = 0 x = π/2 Так как значения x = π/2 не попадают в интервал x = π/6 и x = π/3, то кривая y = 2cos(x) не пересекает данные прямые. Поэтому площадь между кривой, осью OX и прямыми x = π/6 и x = π/3 будет равна 0. 3) Для вычисления площади между кривой y = x^2 + 3x - 2, осью OX и прямой y = 0, также воспользуемся определенным интегралом. Для начала найдем точки пересечения кривой y = x^2 + 3x - 2 с осью OX: x^2 + 3x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 Отсюда получаем две точки пересечения: x = -2 и x = 1. Затем вычислим площадь между кривой, осью OX и прямой y = 0 при помощи определенного интеграла: ∫[a, b] (x^2 + 3x - 2) dx = ∫[-2, 1] (x^2 + 3x - 2) dx = (x^3/3 + (3/2)x^2 - 2x)∣[a, b] = (-(-2)^3/3 + (3/2)(-2)^2 - 2(-2)) - (1^3/3 + (3/2)1^2 - 2(1)) = (8/3 - 6 + 4) - (1/3 + 3/2 - 2) = 16/3 - 6 + 4 - 1/3 - 3/2 + 2 = 16/3 - 1/3 - 3/2 + 4 + 2 - 6 = 15/3 - 3/2 = 5 - 3/2 = 10/2 - 3/2 = 7/2 Таким образом, площадь между кривой y = x^2 + 3x - 2, осью OX и прямой y = 0 равна 7/2.