Question

Найдите наибольшее значение разности у - х в области х2 + y2 < = ( меньше или равно ) 2х + 2y-1 ​

Answer 1

Заметим, что $x^2 + y^2 \leq 2x + 2y-1\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$ - окружность с центром в точке $(1,1)$ и радиусом $1$.

Пусть $y-x=k$ - прямая в системе координат, легко найти, когда прямая является большей касательной к окружности, $k$ - наибольшая

$y=k+x\Rightarrow (x-1)^2+(x+k-1)^2=1\Leftrightarrow 2x^2+(2k-4)x+k^2-2k+1=0\\D_x=(2k-4)^2-4\cdot 2\left ( k^2-2k+1 \right )=-4k^2+8$

Чтобы уравнение имело только одно решение, так как нам нужна точка касания прямой к окружности, то дискриминант должен равняться нулю

$-4k^2+8=0\Leftrightarrow k^2=2\overset{k > 0}{\Rightarrow }k=\sqrt{2}$

Answer 2

Для начала, нужно упростить неравенство х2 + y2 ≤ 2х + 2у - 1.

Начнем с выражения 2х + 2у - 1:
2х + 2у - 1 ≤ 0
2(х + у) ≤ 1
х + у ≤ 1/2

Теперь упростим левую часть неравенства х2 + y2 ≤ 2х + 2у - 1:
х2 - 2х + у2 - 2у + 1 ≤ 0
(х - 1)2 + (у - 1)2 ≤ х2 + у2 - 2х - 2у + 1
(х - 1)2 + (у - 1)2 ≤ (х + у - 1)2

Таким образом, значение х + у - 1 может быть максимальное только в точке (1, 0), когда х = 1 и у = 0.

Итак, мы получили область х + у ≤ 1/2 и точку (1, 0), которая является границей этой области.

Теперь рассмотрим разность y - x в этой области. Подставим значение y = х - 1/2 и выразим разность явным образом:

y - x = (х - 1/2) - х = -1/2

Таким образом, максимальное значение разности y - x в данной области равно -1/2.