Question

∫1/2+3cos^2(x) dx Чтобы ответ был 1/√10 arctg (√2/5tg x) + c С пошаговым решением подробно и точно с теоретически обьяснением​

Answer 1

Сначала делаем замену $\mathrm{tg}(x)=u\Rightarrow du=\frac{1}{\cos^2x}dx$, после получаем, что

$\int{\dfrac{1}{3\,\cos^{2}\left(x\right)+2}}{\;\mathrm{d}x}=\int{\dfrac{1}{2\,{u}^{2}+5}}{\;\mathrm{d}u}$

Снова делаем замену $v=\frac{\sqrt{2}u}{\sqrt{5}}\Rightarrow \mathrm{d}u=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\mathrm{d}v$, после получаем, что

$\int{\dfrac{1}{2\,{u}^{2}+5}}{\;\mathrm{d}u}=\int{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\,\left(5\,{v}^{2}+5\right)}}{\;\mathrm{d}v}$

Вынесем пять из знаменателя и получи табличный интеграл

$\int{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\,\left(5\,{v}^{2}+5\right)}}{\;\mathrm{d}v}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{10}\,\left({v}^{2}+1\right)}}{\;\mathrm{d}v}$

Тогда наш интеграл равен

$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot\mathrm{arctg} \; v+C$

Делаем обратную замену

$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}\,u}{\sqrt{5}}\right)+C=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}\,\mathrm{tg}\left(x\right)}{\sqrt{5}}\right)$

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл ∫(1/2 + 3cos^2(x)) dx и попробуем найти его аналитическое решение с пошаговым объяснением. Интеграл: ∫(1/2 + 3cos^2(x)) dx Первым шагом мы разобьем интеграл на две части и будем интегрировать их по отдельности: ∫(1/2) dx + ∫(3cos^2(x)) dx 1. Интегрируем ∫(1/2) dx: ∫(1/2) dx = (1/2) * x + C₁, где C₁ - произвольная постоянная. 2. Интегрируем ∫(3cos^2(x)) dx. Для этой части нам потребуется использовать тригонометрическую идентичность: cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2. ∫(3cos^2(x)) dx = 3 * ∫(1/2 + (1/2)cos(2x)) dx Теперь мы интегрируем каждую из частей по отдельности: ∫(1/2) dx = (1/2) * x + C₁, как и выше. Для ∫(1/2)cos(2x) dx, давайте проведем замену переменной. Пусть u = 2x, тогда du = 2dx. Мы можем записать это как dx = (1/2)du. Теперь наш интеграл выглядит следующим образом: ∫(1/2)cos(u) * (1/2)du = (1/4) ∫cos(u) du Теперь мы интегрируем cos(u), что равно sin(u): (1/4) ∫cos(u) du = (1/4)sin(u) + C₂, где C₂ - еще одна произвольная постоянная. Теперь возвращаемся к переменной x: (1/4)sin(u) + C₂ = (1/4)sin(2x) + C₂ Теперь объединяем две части интеграла: ∫(3cos^2(x)) dx = (1/2) * x + C₁ + (1/4)sin(2x) + C₂ Теперь мы можем объединить все постоянные: (1/2) * x + (1/4)sin(2x) + (C₁ + C₂) Теперь у нас есть окончательное выражение для интеграла: (1/2) * x + (1/4)sin(2x) + C Где C = C₁ + C₂ - это общая постоянная. Теперь, чтобы найти значение C исходя из данного условия: C = 1/√10 * arctg(√2/5 * tg(x)) + C. Сравнивая обе стороны уравнения, мы видим, что C должно равняться 0, так как оно не зависит от переменной x. Итак, окончательное выражение для интеграла будет: (1/2) * x + (1/4)sin(2x) = 1/√10 * arctg(√2/5 * tg(x)) Это аналитическое решение интеграла с заданным условием.