Question

Решит уравнение Х"- 6х'+9х=2 , Х(0)=1 , Х'(0)=-1 ;

Answer 1

Ответ:

$x(t)=(\frac{7}{9}-\frac{10}{3}t)e^{3t}+\frac{2}{9}$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения вида X'' - 6X' + 9X = 2 с начальными условиями X(0) = 1 и X'(0) = -1, мы будем использовать метод вариации постоянных.

Сначала найдем общее решение однородного уравнения: X'' - 6X' + 9X = 0.

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид:

r^2 - 6r + 9 = 0.

Факторизуем его:

(r - 3)^2 = 0.

Имеем двукратный корень r = 3.

Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Xh(t) = c1 * e^(3t) + c2 * t * e^(3t), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения.

Если в правой части уравнения X'' - 6X' + 9X = 2 положить константы равными нулю (2 = 0), получим неоднородное уравнение:

Xp'' - 6Xp' + 9Xp = 0.

Примем Xp = At, где А - неизвестная постоянная. Тогда:

Xp' = A,

Xp'' = 0.

Подставим это в неоднородное уравнение и найдем значение А:

0 - 6A + 9At = 0.

Отсюда получаем A = 2/3.

Таким образом, частное решение будет иметь вид:

Xp(t) = (2/3)t.

Общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

X(t) = Xh(t) + Xp(t) = c1 * e^(3t) + c2 * t * e^(3t) + (2/3)t.

Остается найти значения постоянных c1 и c2, используя начальные условия X(0) = 1 и X'(0) = -1.

Подставим теперь t = 0 в общее решение:

X(0) = c1 * e^(3*0) + c2 * 0 * e^(3*0) + (2/3)*0.

Отсюда получаем:

1 = c1.

Теперь продифференцируем общее решение и подставим t = 0:

X'(t) = 3c1 * e^(3t) + (c2 * e^(3t) + 3c2 * t * e^(3t)) + 2/3.

X'(0) = 3c1 * e^(3*0) + (c2 * e^(3*0) + 3c2 * 0 * e^(3*0)) + 2/3

-1 = 3c1 + c2 + 2/3.

Теперь найдем значения c1 и c2 из системы уравнений:

1 = c1,

-1 = 3c1 + c2 + 2/3.

Подставим c1 = 1 во второе уравнение:

-1 = 3*1 + c2 + 2/3.

-1 = 3 + c2 + 2/3.

c2 = -6/3 - 2/3 - 3.

c2 = -8/3.

Итак, окончательное решение уравнения X'' - 6X' + 9X = 2 с начальными условиями X(0) = 1 и X'(0) = -1 имеет вид:

X(t) = e^(3t) - (8/3)*t*e^(3t) + (2/3)*t.