Question

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 208. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

Answer 1

Проще простого. 

Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
Тогда, SABС=3*10816=32448
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (повторому свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1562+1042
AB2=24336+10816=35152
AB=√35152=√16*2197=√16*13*169=4*13*√13=52√13
BC=2AB=2*52√13=104√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=1042+522=10816+2704=13520
AE=√13520=√4*4*5*169=2*2*13*√5=52√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
104√13/52√13=CE/(52√5)
2=CE/(52√5)
CE=104√5
AC=AE+CE=52√5+104√5=156√5
Ответ: AB=52√13, BC=104√13, AC=156√5

Answer 2

Поскольку биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, то треугольник ABC является равнобедренным.

Для нахождения сторон треугольника ABC нам нужно найти длину биссектрисы BE.

По свойству биссектрисы, отрезок AE делит сторону BC в отношении длин AC/AB.

Таким образом, пусть AC = x и AB = y, тогда получим:

AE/EC = AC/BC = x/(x+y)

По формуле биссектрисы:

BE/EC = AB/AC = y/x

Так как биссектриса и медиана имеют одинаковую длину, то AE = BE = 208.

Теперь мы можем составить уравнение:

208/EC = x/(x+y)

Также из равенства BE/EC = y/x имеем:

208/EC = y/x

Это система уравнений, которую мы можем решить для нахождения значений x и y.

Перенесем EC в левую часть:

208 = EC * x/(x+y)

Раскроем скобки:

208 = EС * x / (x+y)

Умножим обе части на (x + y):

208(x + y) = EC * x

Раскроем скобки:

208x + 208y = EC * x

Выразим EC:

EC = (208x + 208y) / x

Также из уравнения BE/EC = y/x получим:

y = (BE * x) / EC

Теперь мы можем подставить EC из первого уравнения во второе:

y = (BE * x) / [(208x + 208y) / x]

y = (BE * x^2) / (208x + 208y)

Для решения данной системы уравнений нужно больше информации о треугольнике ABC, например, еще одна известная сторона или угол, так как сейчас имеется два неизвестных – x и y.