Question

Маша хочет расставить числа от 1 до 100 а) в ряд, б) по кругу таким образом, чтобы каждые два соседних числа отличались либо в 2 раза, либо на 2. Получится ли у нее это сделать?

Answer 1

Ответ:

Можно.

Пошаговое объяснение:

Например: 99, 97, ..., 3, 1, 2, 4, ..., 98, 100 (сначала нечётные числа в порядке убывания, затем чётные в порядке возрастания).

Answer 2

Для понимания, получится ли у Маши расставить числа от 1 до 100 в ряд или по кругу таким образом, чтобы каждые два соседних числа отличались либо в 2 раза, либо на 2, можно использовать простую стратегию.

Решим задачу для ряда чисел. Пусть на данный момент у нас есть последовательность чисел [a_1, a_2, ..., a_n]. Чтобы добавить следующее число a_{n+1}, оно должно удовлетворять условию: a_{n+1} - a_n = 2 или a_{n+1} = 2*a_n.

Попробуем применить это условие к первым нескольким числам:

1. Первое число равно 1: a_1 = 1.
2. Второе число может быть либо 1+2=3, либо 1*2=2. В данном случае a_2 = 2 не выполняет условие, поэтому a_2 = 3.
3. Теперь рассмотрим третье число. Мы можем использовать либо a_2 + 2 = 3 + 2 = 5, либо a_2 * 2 = 3 * 2 = 6. В данном случае можно взять a_3 = 6.
4. Далее можем использовать a_3 + 2 = 6 + 2 = 8 или a_3 * 2 = 6 * 2 = 12. Возьмем a_4 = 8.
5. Продолжая аналогично, получаем a_5 = 16 и так далее.

Таким образом, мы можем построить последовательность чисел в ряд от 1 до 100, где каждые два соседних числа отличаются либо в 2 раза, либо на 2.

Теперь рассмотрим случай с расстановкой чисел по кругу. Начнем с аналогичного начала:

1. Первое число равно 1: a_1 = 1.
2. Второе число может быть 1+2=3 или 1*2=2. Для построения круга нам нужно выбрать число, которое не меньше 1 и не больше 100, и при этом допускаем два варианта: 2 и 3.
a) Если выбрать 2, то 2+2 = 4, 4+2 = 6 и т.д., и мы не сможем закончить цикл в рамках чисел от 1 до 100.
b) Если выбрать 3, то 3+2 = 5, 5+2 = 7 и т.д. В этом случае также не получится закончить цикл.

Таким образом, невозможно расставить числа от 1 до 100 по кругу таким образом, чтобы каждые два соседних числа отличались либо в 2 раза, либо на 2.