Question

Основания трапеции ABCD равны 5 и 20, а диагональ AC равна 10. Докажите, что ACD подобен ABC. Найдите расстояние между центрами вписанных в треугольники ABC и ACD окружностей, если одна из боковых сторон трапеции равна 7. Полученное значение возведите в квадрат, домножьте на 11 и запишите в ответ.

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении.

Ответ равен 260 ед.

Пошаговое объяснение:

1.  Одна из сторон трапеции равна 7 см. Это сторонв АВ, так как по теореме о неравенстве треугольника со сторонами 10ед, 20ед и 7ед  не существует.

Треугольники АВС и АСD подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны".

ВС/AC = AC/AD = 2, а ∠АСВ = ∠СAD как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD. Подобие доказано.

2. Периметр треугольника АВС равен 22 ед, полупериметр равен

p1=11 ед.

Периметр треугольника АСD равен 44 ед, полупериметр равен

p2=22 ед.

Тогда площадь треугольника АВС равна по Герону

Sabc = √(11·4·6·1) = 2√66 ед², а

радиус вписанной окружности в треугольник АВС равен

r1 = Sabc/p1 = 2√66/11 ед.

Для треугольника ACD радиус r2 = 4√66/11 ед, так как треугольники подобны с коэффициентом подобия k = 2.

Расстояние от вершины до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

В треугольнике АВС AK =  p1 – BC = 11-5 = 6ед.

В треугольнике АСD CН =  p2 – AD = 22-20 = 2ед.  =>

КН = АС - АК - СН = 10 - 6 - 2 = 2 ед.

Прямоугольные треугольники КО1О и НО2О подобны по острому углу (∠КО1О и ∠НО2О - вертикальные) с коэффициентом подобия

k2 = r1/r2 = 2.

Тогда НО = 2·КО, а 3·КО = 2ед.  +> КО = 2/3 ед.

В прямоугольном треугольнике КО1О гипотенуза

О1О=√(r1²+KO²)=√(4·66/121+4/9)=√(260/99)=2√(65/99) ед.

В подобном ему треугольнике НО2О гипотенуза

О2О = 4√(65/99) ед.

Тогда отрезок О1О2 = 6√(65/99) ед.

Это расстояние между центрами вписанных окружностей. Тогда ответ по условию будет:

(36·65/99)·11 = 260 ед.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ACD и ABC нужно показать, что они имеют два равных угла и соответствующие стороны этих углов пропорциональны.

Углы ACD и ABC равны, так как это боковые углы трапеции и они равны между собой.

Мы знаем, что диагональ AC равна 10. Рассмотрим треугольники ADC и ABC.

В треугольнике ADC известно, что основания трапеции равны 5 и 20, а диагональ AC равна 10.

По теореме Пифагора можем найти высоту треугольника относительно основания 5:
(5/2)^2 + h^2 = 10^2 (5/2 - половина основания трапеции, h - высота треугольника)
25/4 + h^2 = 100
h^2 = 100 - 25/4
h^2 = 400/4 - 25/4
h^2 = 375/4
h = sqrt(375)/2
Округлим значение h до более удобной формы: h = sqrt(375) * 2 / 2 = sqrt(1500)/2

Аналогично, в треугольнике ABC можно найти высоту относительно основания 20:
(20/2)^2 + H^2 = 10^2 (20/2 - половина основания трапеции, H - высота треугольника)
100 + H^2 = 100
H^2 = 100 - 100
H = 0

Таким образом, высоты треугольников ADC и ABC относительно своих оснований значительно отличаются. В связи с этим, треугольники ADC и ABC не подобны.

Теперь найдем расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ABC и ACD.

По определению, центр вписанной окружности треугольника - это точка пересечения биссектрис треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC и его центр вписанной окружности. Пусть O1 - центр вписанной окружности треугольника ABC.

Так как одна из сторон трапеции равна 7, а основное условие применимости формулы равносильности треугольников подразумевает равные углы на равных сторонах, то мы можем сделать вывод, что углы B и C в треугольнике ABC равны 90°.

Таким образом, биссектриса угла B совпадает с высотой, опущенной из вершины C.

Так как треугольник ABC прямоугольный, биссектрисы углов A и B совпадают с его медианами и высотами.

Let's derive the formula for the distance between the incenter and the circumcenter of a triangle.

Let A, B, C be the vertices of a triangle, and O be the center of the circumcircle of the triangle.

Let D, E, F be the points where the incircle is tangent to the sides BC, AC, AB, respectively.

Let K be the intersection point of the circumcircle and the incircle.

We know that OC is the perpendicular bisector of segment AB, because O is the circumcenter of triangle ABC.

So, angle BOC = 90°.

Since angle BOC = 90°, triangle BOC is inscribed in a semicircle and angle BIC also equals 90°, where I is the incenter of triangle ABC.

Therefore, B, I, O, C are concyclic.

The intersection point K is on the line BC extended from D.

Since angle ABC = ACD = 90°, triangle CDA is also inscribed in a semicircle.

So, angle CDA = 90°.

Let G be the foot of the altitude from C to AD.

Since angle CDA = 90°, triangle CDA is inscribed in a semicircle and angle CGA also equals 90°.

Therefore, C, G, D, A are concyclic.

Since points A, G, C, D are concyclic, triangle CDA is also a right triangle.

Let O2 be the center of the circumcircle of triangle CDA.

So, segment O1O2 is the distance between the centers of the circumcircles of triangles ABC and ACD.

Since triangle ABC is similar to triangle ADC, we can use the properties of similar triangles to find the distance between O1 and O2.

Let x be the distance between O1 and O2.

We know that O1A = O1C, because O1 is the circumcenter of triangle ABC.

Similarly, we know that O2A = O2D, because O2 is the circumcenter of triangle ADC.

Since triangles ABC and ADC are similar, we have:

O1C / O1A = DC / AB

O2A / O2D = AC / AD

But O1C = O1A and O2A = O2D, so we have:

1 = DC / AB

AC / AD = DC / AB

DC = (AC * AB) / AD

Using the given values:

DC = (10 * 5) / 20 = 2.5

So, the distance x between the centers of the circumcircles of triangles ABC and ACD is 2.5.

To find the square of this distance, we multiply it by itself:

x^2 = 2.5^2 = 6.25

Finally, we multiply the square of the distance by 11:

6.25 * 11 = 68.75

Therefore, the answer is 68.75.

Answer 3

Для доказательства подобия треугольников ACD и ABC необходимо установить, что их соответствующие углы равны.

Рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что основания трапеции ABCD равны 5 и 20. Поскольку основания треугольника ABC являются продолжениями оснований трапеции, то стороны треугольника ABC равны 5 и 20. Диагональ AC также известна и равна 10.

В треугольнике ABC применяем теорему косинусов к углу АСB:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ACB).

Подставляем известные значения:

10² = 5² + 20² - 2 * 5 * 20 * cos(∠ACB).

Выражаем cos(∠ACB):

100 = 25 + 400 - 200 * cos(∠ACB).

Сокращаем:

200 * cos(∠ACB) = 325.

Выражаем cos(∠ACB):

cos(∠ACB) = 325 / 200 = 13 / 8.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Опять же, имеем две стороны: диагональ AC равна 10, а одна из боковых сторон трапеции равна 7. Найдем третью сторону, применив теорему Пифагора:

CD² = AC² - AD² = 10² - 7² = 100 - 49 = 51.

Теперь применяем теорему косинусов к углу ACD:

AC² = AD² + CD² - 2 * AD * CD * cos(∠ACD).

Подставляем известные значения:

10² = 7² + 51 - 2 * 7 * sqrt(51) * cos(∠ACD).

Выражаем cos(∠ACD):

200 * cos(∠ACD) = 49 + 51 - 100 = 0.

Выражаем cos(∠ACD):

cos(∠ACD) = 0.

Таким образом, имеем cos(∠ACB) = 13 / 8 и cos(∠ACD) = 0. Это означает, что углы ∠ACB и ∠ACD равны.

Следовательно, треугольники ABC и ACD подобны.

Найдем теперь расстояние между центрами вписанных в треугольники ABC и ACD окружностей.

Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что одна из боковых сторон трапеции равна 7. Обозначим эту сторону через x. Тогда другая боковая сторона равна 5 + 20 - x = 25 - x.

Так как треугольник ABC является прямоугольным, расстояние между центром вписанной окружности и серединой гипотенузы равно половине гипотенузы. Здесь гипотенуза треугольника ABC равна 25 - x, поэтому расстояние между центром вписанной окружности треугольника ABC и серединой гипотенузы равно (25 - x) / 2.

Рассмотрим треугольник ACD. Известно, что диагональ AC равна 10, а одна из боковых сторон трапеции равна 7. Расстояние между центром вписанной окружности и высотой, проведенной к основанию 7, равно расстоянию между центром вписанной окружности и серединой основания 7. Это расстояние равно 7 / 2 = 3.5.

Таким образом, расстояние между центрами вписанных в треугольники ABC и ACD окружностей равно

(25 - x) / 2 - 3.5 = (25 - 7) / 2 - 3.5 = 18 / 2 - 3.5 = 9 - 3.5 = 5.5.

Возводим полученное значение 5.5 в квадрат, домножаем на 11:

5.5² * 11 = 30.25 * 11 = 332.75.

Таким образом, полученное значение равно 332.75.