Question

Решите пожалуйста ИНТЕГРАЛ срочно , с подробным решением. Заранее спасибо dx/sinx*cosx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данный интеграл. Для этого нам понадобится использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где: - u - это одна из функций, которую мы выберем для дифференцирования, - dv - это другая функция, которую мы выберем для интегрирования, - du - производная функции u, - v - интеграл от функции dv.

В данном случае, мы можем выбрать: - u = sin(x), - dv = dx * cos(x).

Затем мы найдем производную и интеграл от этих функций: - du = cos(x) dx, - v = ∫dx * cos(x).

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫sin(x) * cos(x) dx = sin(x) * ∫dx * cos(x) - ∫[∫dx * cos(x)] * cos(x) dx

Теперь мы рассмотрим каждую часть этого выражения:

1. ∫dx * cos(x) - это интеграл от функции cos(x), который равен sin(x) + C1, где C1 - произвольная константа.

2. Теперь, подставляя эти результаты обратно в формулу интегрирования по частям, получим:

∫sin(x) * cos(x) dx = sin(x) * (sin(x) + C1) - ∫(sin(x) + C1) * cos(x) dx

Теперь у нас есть два интеграла, которые мы можем рассмотреть по отдельности:

1. ∫sin(x) * (sin(x) + C1) dx = ∫sin^2(x) dx + C1 * ∫sin(x) dx

Интеграл ∫sin^2(x) dx - это стандартный интеграл, который можно решить с помощью тождества:

sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2.

Теперь мы можем интегрировать:

∫sin^2(x) dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx = (1/2)∫(1 - cos(2x)) dx

= (1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C2, где C2 - еще одна произвольная константа.

2. Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫(sin(x) + C1) * cos(x) dx

= ∫sin(x) * cos(x) dx + C1 * ∫cos(x) dx

Интеграл ∫cos(x) dx - это также стандартный интеграл:

∫cos(x) dx = sin(x) + C3, где C3 - еще одна произвольная константа.

Теперь, подставив оба полученных интеграла, мы получим итоговый результат:

∫sin(x) * cos(x) dx = ((1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C2) + (sin(x) + C1) * (sin(x) + C3)

= (1/2)x - (1/4)sin(2x) + C2 + (sin^2(x) + C1*sin(x) + C1*C3)

= (1/2)x - (1/4)sin(2x) + (1/2)sin^2(x) + C1*sin(x) + C2 + C1*C3.

Это и есть окончательное решение интеграла:

∫sin(x) * cos(x) dx = (1/2)x - (1/4)sin(2x) + (1/2)sin^2(x) + C1*sin(x) + C2 + C1*C3.