Question

Промежутки возрастания и убывания.y=x³-4x²+4x+4Прошу решите я на экзамене

Answer 1

Y'=(x³-4x²+4x+4)'=3x²-8x+4

y'>0
3x²-8x+4>0
D=(64-48)=16=4²
x=(8±4)/6
x1=2;x2=4/6=2/3
_+___2/3__-____2__+____
(-oo;2/3)U(2;+oo) функция возрастает
у'<0
х€(2/3;2) функция убывает

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции y = x³ - 4x² + 4x + 4, мы будем искать производную функции и анализировать ее знак на разных интервалах. Промежутки возрастания функции соответствуют интервалам, на которых производная положительна, а промежутки убывания - интервалам, на которых производная отрицательна.

Шаг 1: Найдем производную функции y = x³ - 4x² + 4x + 4.

y' = 3x² - 8x + 4

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю:

3x² - 8x + 4 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-8)² - 4 * 3 * 4 = 64 - 48 = 16

x = (-(-8) ± √16) / (2 * 3) x = (8 ± 4) / 6

Таким образом, у нас есть две критические точки:

x₁ = (8 + 4) / 6 = 12/6 = 2 x₂ = (8 - 4) / 6 = 4/6 = 2/3

Шаг 3: Теперь мы должны анализировать производную на интервалах между и за пределами критических точек.

- Если x < 2/3, то 3x² - 8x + 4 > 0, так как коэффициент при x² положителен, и дискриминант D положителен. Это означает, что функция возрастает на этом интервале.

- Если 2/3 < x < 2, то 3x² - 8x + 4 < 0, так как коэффициент при x² положителен, и дискриминант D положителен. Это означает, что функция убывает на этом интервале.

- Если x > 2, то 3x² - 8x + 4 > 0, так как коэффициент при x² положителен, и дискриминант D положителен. Это означает, что функция возрастает на этом интервале.

Шаг 4: Теперь мы можем собрать информацию о промежутках возрастания и убывания:

- Функция возрастает на интервалах (-∞, 2/3) и (2, +∞). - Функция убывает на интервале (2/3, 2).

Эта информация позволит вам на экзамене правильно определить промежутки возрастания и убывания функции y = x³ - 4x² + 4x + 4.