Question

Докажите, что если к четырехзначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то эта сумма будет делиться на 11.

Answer 1

Ответ:

Пусть abc - какое либо трехзначное число. Если к нему приписать трехзначное число записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится шестизначное число следующего вида:

abccba   

Теперь посчитаем сумму цифр стоящих на нечетных местах. Она равна a+c+b.

А сумма цифр стоящих на четных местах равна b+c+a.

Очевидно, что a+c+b=b+c+a

По признаку делимости на 11, число делится на 11 тогда, когда сумма цифр стоящих на нечетных местах равна сумме цифр стоящих на четных местах.

Поэтому числа вида abccba делятся на 11

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Докажем данное утверждение.

Пусть дано четырехзначное число ABCD, где A, B, C и D - цифры числа.

Тогда число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет DCBA.

Сумма этих чисел будет ABCD + DCBA.

Мы знаем, что ABCD = 1000A + 100B + 10C + D, а DCBA = 1000D + 100C + 10B + A.

Сумма ABCD + DCBA будет равна (1000A + 100B + 10C + D) + (1000D + 100C + 10B + A) = 1001A + 110B + 110C + 1001D.

Мы можем вынести общий множитель 11, получив 11(91A + 10B + 10C + 91D).

Таким образом, сумма ABCD + DCBA делится на 11 без остатка.

Это утверждение можно доказать и для чисел с другим количеством цифр, применив аналогичное рассуждение.

Итак, мы доказали, что если к четырехзначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то эта сумма будет делиться на 11.