Question

Помогите решить методом математической индукции : 4+0+...+4*(2-n)=2n(3-n)

Answer 1

4+0+...+4*(2-n)=2n(3-n) (#)

(1)
при n=1

4=2*1(3-1)=4
это верно.

(2)
пусть при n=k
4+0+...+4*(2-k)=2k(3-k)

(3) докажем, что при n=k+1

4+0+...+4*(2-k) + 4(2-(k+1))=2(k+1)(3-(k+1))


Подставим сумму первых к членов из (2)
2k(3-k)+4(2-(k+1))==6k-2k²+8-4k-4=
=-2k²+2k+4=-2(k²-k-2)=-2(k+1)(k-2)=
=2(k+1)(2-k)=2(k+1)(2-k)=2(k+1)(3-(k+1))
что и требовалось доказать

поэтому наше равенство(#) справедливо для всех натуральных n

Answer 2

Конечно, мы можем решить данное уравнение методом математической индукции. Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, которые верны для всех натуральных чисел. У нас есть следующее утверждение:

\[4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + \ldots + 4 \cdot (2 - n) = 2n(3 - n).\]

Давайте проверим его для начального случая, а затем для индукционного предположения и шага.

1. Базовый случай (n = 1): Для n = 1 у нас есть:

Левая сторона: \(4 \cdot 1 = 4\), Правая сторона: \(2 \cdot 1 \cdot (3 - 1) = 4\).

Оба значения совпадают, поэтому базовый случай верен.

2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k:

\[4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + \ldots + 4 \cdot (2 - k) = 2k(3 - k).\]

3. Индукционный шаг: Нам нужно показать, что утверждение также верно для n = k + 1. Для этого мы добавим следующий член к сумме:

Левая сторона (n = k + 1):

\[4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + \ldots + 4 \cdot (2 - k) + 4 \cdot (2 - (k + 1)) =\] \[4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + \ldots + 4 \cdot (2 - k) + 4 \cdot (1 - k) =\] \[4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + \ldots + 4 \cdot (2 - k) - 4 \cdot k =\] \[4 - 4 \cdot k + (4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + \ldots + 4 \cdot (2 - k)) =\] \[4 - 4 \cdot k + 2k(3 - k)\] (по индукционному предположению).

Теперь упростим правую сторону:

Правая сторона (n = k + 1):

\[2(k + 1)(3 - (k + 1)) = 2(k + 1)(2 - k) = 2(k + 1)(2 - k) =\] \[2(2k - k^2 + 2 - 2k) = 4 - 2k^2 + 4 - 4k = -2k^2 - 4k + 8.\]

Таким образом, мы видим, что левая и правая стороны равны:

\[4 - 4 \cdot k + 2k(3 - k) = -2k^2 - 4k + 8.\]

Оба выражения равны друг другу, и это завершает индукционный шаг.

Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных чисел n с использованием метода математической индукции:

\[4 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + \ldots + 4 \cdot (2 - n) = 2n(3 - n).\]