Question

В прямоугольном треугольнике медиана проведена с прямого угла, равна одном из катетов. Найти меньший угол треугольника.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и медианы. Перед нами есть прямоугольный треугольник, и медиана проведена из вершины прямого угла (вершина прямого угла находится напротив гипотенузы) к середине гипотенузы. Пусть медиана равна одному из катетов.

Пусть `AB` будет гипотенузой, `CD` - медианой, `AC` и `BC` - катетами, где `C` - вершина прямого угла, `D` - середина гипотенузы, и `A` и `B` - концы гипотенузы. Также пусть `x` будет длиной медианы.

Согласно свойствам медианы в треугольнике, медиана делит её катет, прилегающий к гипотенузе, пополам. То есть, `CD` делит `AC` пополам. Это означает, что `CD` равна половине `AC`, то есть `CD = 0.5 * AC`.

Также, согласно теореме Пифагора для прямоугольных треугольников:

`AC^2 = AD^2 + CD^2`.

Поскольку `AD` равна половине гипотенузы (`AD = 0.5 * AB`), мы можем заменить `AD`:

`AC^2 = (0.5 * AB)^2 + (0.5 * AC)^2`.

Теперь давайте разрешим это уравнение относительно `AC`:

`AC^2 = (0.25 * AB^2) + (0.25 * AC^2)`.

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

`4 * AC^2 = 0.25 * AB^2 + 0.25 * AC^2`.

Теперь выразим `AC^2`:

`4 * AC^2 - 0.25 * AC^2 = 0.25 * AB^2`.

Упростим левую сторону:

`3.75 * AC^2 = 0.25 * AB^2`.

Теперь разделим обе стороны на 3.75:

`AC^2 = (0.25 * AB^2) / 3.75`.

`AC^2 = (AB^2 / 4) / 3.75`.

`AC^2 = AB^2 / 15`.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

`AC = (AB / √15)`.

Теперь мы знаем, что `AC` равна одному из катетов `AB` делённому на корень из 15.

Теперь, чтобы найти меньший угол треугольника, мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями. Меньший угол `θ` можно найти с помощью тангенса:

`tan(θ) = (AC / BC)`.

Подставим значение `AC` и `AB`:

`tan(θ) = ((AB / √15) / AB)`.

`tan(θ) = 1 / √15`.

Теперь найдем значение угла `θ`:

`θ = arctan(1 / √15)`.

Используя калькулятор или таблицу тригонометрических значений, вы найдете значение угла `θ`.