Question

Решите пожалуйста Сумма первых 3 членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15 если из первых двух членов этой прогрессии вычесть по единице а к третьему числу прибавить единицу то полученные числа составляют геометрическую прогрессию Найдите сумму восьми членов геометрической прогрессии.

Answer 1

$b_1 = a_1 - 1$ - > $a_1 = b_1 + 1$ $b_2 = a_2 - 1$ -> $a_2 = b_2 + 1$ $b_3 = a_3 + 1$ -> $a_3 = b_3 - 1$
$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ - > $b_2 + 1 - b_1 - 1 = b_3 - 1 - b_2 - 1$ -> $b_1 - 2b_2 + b_3 = 2$
$a_1 + a_2 + a_3 = 15$ $b_1 + b_2 + b_3 = 14$
$\left \{ {{b_1 + b_2 + b_3 = 14} \atop {b_1 - 2b_2 + b_3 = 2}} \right.$Отнимем от верхнего уравнения нижнее, и получим $b_2 = 4$
$b_2 = b_1 * d$ - > $b_1 = \frac{b_2}{d} = \frac{4}{d}$

$S_{3} = \frac{b_1 * (d^3 - 1)}{d-1} = \frac{4*d^2 - \frac{4}{d} }{d-1} = 14$ $2d^3 - 7d^2 + 7d - 2 = 0$ $(d-1)(d-2)(2d- 1) = 0$d = 1 и d = 1/2 не подходят т.к. прогрессия должна возростать -> d=2
$b_1 = \frac{4}{d} = \frac{4}{2} = 2$
$S_8 = \frac{b_1*(d^8 - 1)}{d - 1} = \frac{2 * (2^7 - 1)}{1} = 2 * 127 = 254$
Ответ: 254

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а ее разность равна d. Тогда первые 3 члена арифметической прогрессии будут: a, a+d, a+2d.

Сумма первых 3 членов арифметической прогрессии равна 15: a + (a+d) + (a+2d) = 15.

Из условия задачи также известно, что если из первых двух членов вычесть по единице, а к третьему члену прибавить единицу, то полученные числа составляют геометрическую прогрессию. То есть: (a-1) * (a+1+d+1) = (a+d+2) * r, где r - знаменатель геометрической прогрессии.

Раскрывая скобки, получаем: (a-1) * (a+d+2) = (a+d+2) * r.

Поскольку (a+d+2) отлично от нуля, то можем сократить на (a+d+2): a-1 = r.

Теперь мы знаем, что знаменатель геометрической прогрессии равен a-1.

Чтобы найти сумму восьми членов геометрической прогрессии, воспользуемся формулой для суммы первых n членов геометрической прогрессии: Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1), где Sn - сумма первых n членов, a1 - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии.

Так как первый член геометрической прогрессии равен (a-1), знаменатель равен (a-1), а количество членов равно 8, мы можем записать: S8 = (a-1) * ((a-1)^8 - 1) / ((a-1) - 1).

Теперь у нас есть два уравнения: a + (a+d) + (a+2d) = 15, (a-1) * ((a-1)^8 - 1) / ((a-1) - 1) = S8.

Решив эти два уравнения, мы найдем значения a и d, и сможем найти сумму восьми членов геометрической прогрессии.