Question

Cos²⁰¹¹(π/2 - 2x) + cos²⁰¹²(π/2 + 2x) = 2 Найти наименьший положительный корень в градусах

Answer 1

${{\cos }^{2011}}\left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)\le 1,{{\cos }^{2012}}\left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)\le 1$$2={{\cos }^{2011}}\left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)+{{\cos }^{2012}}\left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)\le 2$${{\cos }^{2011}}\left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)=1,{{\cos }^{2012}}\left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)=1\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \cos \left( \cfrac{\pi }{2}-2x \right)=1,\cos \left( \cfrac{\pi }{2}+2x \right)=1$

$x=\cfrac{\pi}{4}=45^{\circ}$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала заметим, что косинусы возведены в степени 2011 и 2012. Обратим внимание, что косинусы могут принимать значения от -1 до 1.

Распишем уравнение: cos²⁰¹¹(π/2 - 2x) + cos²⁰¹²(π/2 + 2x) = 2

Так как у нас требуется найти наименьший положительный корень в градусах, то будем рассматривать значения x в пределах от 0 до 360 градусов.

Используя тригонометрическую формулу cos(α ± β), преобразуем уравнение: cos²⁰¹¹(π/2) * cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x) + cos²⁻⁼²⁰¹²(π/2) * cos²⁼⁰⁺²⁰¹²(2x) = 2

Так как значения cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x) и cos²⁼⁰⁺²⁰¹²(2x) на интервале от 0 до 360 градусов выражаются положительными и отрицательными значениями, то мы можем разделить данное уравнение на косинусы и получить два уравнения без деления на ноль. Разделим на cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x):

1 + [cos²⁻⁼²⁰¹²(π/2) * cos²⁼⁰⁺²⁰¹²(2x) / cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x)] = 2 / cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x)

Обозначим t = cos²⁼⁰⁺²⁰¹²(2x) / cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x). Подставим в уравнение:

1 + t = 2 / cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x)

Выразим cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x):

cos⁺²⁰¹¹(-2x) = 1 / cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x) cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x) = 1 / [cos⁺²⁰¹¹(-2x)]

Подставим это значение в выражение для t:

t = cos²⁻⁼²⁰¹²(π/2) * [cos⁺²⁰¹¹(-2x) / (1 / [cos⁺²⁰¹¹(-2x)])] t = cos²⁻⁼²⁰¹²(π/2) * [cos⁺⁴⁰²²(-x)]

Вернёмся к уравнению:

1 + t = 2 / cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x) 1 + cos²⁻⁼²⁰¹²(π/2) * [cos⁺⁴⁰²²(-x)] = 2 / cos²⁼⁰⁻²⁰¹¹(-2x)

Теперь мы можем подобрать значения угла x в пределах от 0 до 360 градусов, которые удовлетворяют данному уравнению. Это можно сделать, используя графические или численные методы, так как аналитическое решение будет сложным из-за степеней и тригонометрических функций высокого порядка.

Найдя значения x, можно найти наименьший положительный корень в градусах.