Question

Решить задачу Коши y''-4y=0 y(0)=1, y'(0)=2

Answer 1

Ответ:

$y=e^{2x}$

Пошаговое объяснение:

y''-4y=0 - Линейное однородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение:

$k^2-4=0 \ \Rightarrow \ k^2=4 \ \Rightarrow \ k= \pm 2$

Общее решение:

$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}$

Задача Коши:

$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x} \\ \\ y'=-2C_1e^{-2x}+2C_2e^{2x} \\ \\ \left\{\begin{matrix} y(0)=1 \\ y'(0)=2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1=C_1+C_2 \\ 2=-2C_1+2C_2 \ |:2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \pm \left\{\begin{matrix} 1=C_1+C_2 \\ 1=-C_1+C_2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2C_2 \\ 0=2C_1 \end{matrix}\right. \\ \\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} C_2=1 \\ C_1=0 \end{matrix}\right.$

$y=e^{2x}$

Answer 2

Для решения задачи Коши вида y'' - 4y = 0 с начальными условиями y(0) = 1 и y'(0) = 2, мы можем использовать метод вариации постоянных. Этот метод позволяет найти частное решение дифференциального уравнения, используя общее решение соответствующего однородного уравнения.

Решение однородного уравнения

Для начала найдем общее решение однородного уравнения y'' - 4y = 0. Для этого предположим, что решение имеет вид y = e^(mx), где m - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение:

y'' - 4y = 0 (m^2 - 4)e^(mx) = 0

Теперь мы получили характеристическое уравнение m^2 - 4 = 0. Решим его:

m^2 - 4 = 0 (m - 2)(m + 2) = 0

Отсюда получаем два значения m: m_1 = 2 и m_2 = -2. То есть, у нас есть два линейно независимых решения однородного уравнения: y_1 = e^(2x) и y_2 = e^(-2x).

Нахождение частного решения

Теперь, когда у нас есть общее решение однородного уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянных, чтобы найти частное решение задачи Коши. Пусть y_p(x) = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2, где u_1(x) и u_2(x) - неизвестные функции, которые мы должны найти.

Дифференцируем y_p(x), чтобы найти y'_p(x):

y'_p(x) = u_1'(x)y_1 + u_2'(x)y_2 + u_1(x)y'_1 + u_2(x)y'_2

Теперь заменим y_p(x), y'_p(x), y_1 и y_2 в исходном дифференциальном уравнении:

y'' - 4y = 0 (u_1''y_1 + u_2''y_2 + u_1'y_1 + u_2'y_2) - 4(u_1y_1 + u_2y_2) = 0

Выполним раскрытие скобок и сгруппируем слагаемые:

(u_1'' - 4u_1)e^(2x) + (u_2'' - 4u_2)e^(-2x) + (2u_1' + 2u_2')e^(2x) + (-2u_1' - 2u_2')e^(-2x) = 0

Для того, чтобы это уравнение было верным для всех x, коэффициенты при экспонентах должны быть равны нулю:

u_1'' - 4u_1 + 2u_1' = 0 u_2'' - 4u_2 - 2u_2' = 0

Решим эти два уравнения для u_1(x) и u_2(x). Для простоты обозначим u_1' как p и u_2' как q:

u_1'' - 4u_1 + 2p = 0 (1) u_2'' - 4u_2 - 2q = 0 (2)

Дифференцируем уравнения (1) и (2) по x:

u_1''' - 4u_1' + 2p' = 0 (3) u_2''' - 4u_2' - 2q' = 0 (4)

Подставим значения u_1', u_1'', u_2' и u_2'' из уравнений (1) и (2) в уравнения (3) и (4):

u_1''' - 4p + 2p' = 0 (5) u_2''' - 4q - 2q' = 0 (6)

Теперь у нас есть система из двух линейных однородных дифференциальных уравнений (5) и (6). Ее можно решить методом подстановки или другими методами решения систем линейных дифференциальных уравнений.

Решение системы уравнений

Решим систему уравнений (5) и (6). Предположим, что u_1(x) и u_2(x) имеют вид: u_1(x) = A*e^(2x) и u_2(x) = B*e^(-2x), где A и B - неизвестные константы, которые мы должны найти.

Подставим эти предположения в систему уравнений (5) и (6):

A*e^(2x) - 4p + 2p' = 0 (7) B*e^(-2x) - 4q - 2q' = 0 (8)

Теперь продифференцируем уравнения (7) и (8) по x:

2A*e^(2x) - 4p' + 2p'' = 0 (9) -2B*e^(-2x) - 4q' - 2q'' = 0 (10)

Из уравнений (9) и (10) можно найти значения p' и q':

p' = A*e^(2x) - p''/2 (11) q' = -B*e^(-2x) - q''/2 (12)

Теперь продифференцируем уравнения (11) и (12) по x:

p'' = 2A*e^(2x) - p'''/2 (13) q'' = -2B*e^(-2x) - q'''/2 (14)

Подставим значения p'' и q'' из уравнений (13) и (14) в уравнения (11) и (12):

p' = A*e^(2x) - (2A*e^(2x) - p'''/2)/2 p' = A*e^(2x) - A*e^(2x) + p'''/4 p' = p'''/4

q' = -B*e^(-2x) - (-2B*e^(-2x) - q'''/2)/2 q' = -B*e^(-2x) + 2B*e^(-2x) + q'''/4 q' = q'''/4

Мы получили уравнения, связывающие производные p(x) и q(x). Теперь решим их:

p' = p'''/4 (15) q' = q'''/4 (16)

Интегрируем уравнения (15) и (16) по x:

p(x) = (1/4)*p'''*x + C_1 (17) q(x) = (1/4)*q'''*x + C_2 (18)

где C_1 и C_2 - постоянные интегрирования.

Нахождение частного решения окончательно

Теперь у нас есть значения p(x) и q(x) в виде интегралов (17) и (18). Подставим их обратно в уравнения (7) и (8):

A*e^(2x) - 4*((1/4)*p'''*x + C_1) + 2*((1/4)*p''' + C_1) = 0 (19) B*e^(-2x) - 4*((1/4)*q'''*x + C_2) - 2*((1/4)*q''' + C_2) = 0 (20)

Раскроем скобки:

A*e^(2x) - p'''*x - 4*C_1 + p''' +