Question

Вычислить приближенное значение функции, заменяя приращение функции дифференциалом arccos0.09

Answer 1

f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)∗dx     (1).

Находим приближенное значение arccos0.09

1. Выбираем значение x0 при котором arccos

 можно найти, в данном случае удобно взять x0=0
2. Рассчитываем dx=Δx=0,09−0=0,09, т.к. x0+Δx=0,09=> Δx=0.09−x0=0,09−0
3. Находим f(x0)=π/2=1,570796.

4. Находим производную функции f′(x)=-1/√(1-х²)
5. Находим значение производной  f′(x0).  f′(0)=-1.
6. Подставляем в формулу (1) для расчета приближенного значения

arc cos0,09 ≈ 1.570796 -1*0.09 = 1.480796.

 7. Проверяем решение на калькуляторе arc cos0,09 ≈ 

1.480674.

Answer 2

Для вычисления приближенного значения функции, заменяя приращение функции дифференциалом, мы можем использовать дифференциал функции арккосинуса. Дифференциал функции f(x) можно записать следующим образом:

df = f'(x) * dx

В данном случае, f(x) = arccos(0.09), и мы хотим найти приближенное значение этой функции, заменяя dx на некоторое малое значение h. Дифференциал arccos(x) равен:

d(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2) * dx

Теперь мы можем подставить x = 0.09 и выразить dx:

d(arccos(0.09)) = -1 / sqrt(1 - 0.09^2) * dx

d(arccos(0.09)) = -1 / sqrt(1 - 0.0081) * dx

d(arccos(0.09)) = -1 / sqrt(0.9919) * dx

Теперь мы можем выразить dx:

dx = d(arccos(0.09)) * sqrt(0.9919)

Теперь мы можем найти значение d(arccos(0.09)):

d(arccos(0.09)) = -1 / sqrt(0.9919)

Теперь мы можем выразить df, приближенное значение функции arccos(0.09), заменяя dx дифференциалом:

df ≈ d(arccos(0.09)) * sqrt(0.9919)

Вычислим численное значение:

d(arccos(0.09)) ≈ -1 / sqrt(0.9919) ≈ -1 / 0.99594 ≈ -1.0041

Теперь вычислим приближенное значение функции arccos(0.09):

df ≈ -1.0041 * sqrt(0.9919) ≈ -1.0041 * 0.99594 ≈ -1.0009

Итак, приближенное значение функции arccos(0.09), заменяя приращение функции дифференциалом, равно примерно -1.0009.