Question

Дана функция Z=f(x,y) и две точки А(x0,y0) и B(x1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближѐнное значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции еѐ дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0,y0,z0). z=7x+8y-xy, A(5,3), B(4,98;3,03)

Answer 1

Все объяснено на картинке, если что не понятно, спрашивай

Answer 2

Для данной задачи у нас есть функция Z=f(x,y) и две точки A(x0,y0) и B(x1,y1). Давайте по порядку решим каждый из пунктов задания:

1. Вычислить значение z1 в точке B: Нам дана функция z=7x+8y-xy. Мы можем вычислить значение z1 в точке B(x1,y1) подставив её координаты в функцию: z1 = 7x1 + 8y1 - x1*y1

2. Вычислить приближѐнное значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом: Для этого используем дифференциал функции: dz = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy где ∂f/∂x и ∂f/∂y - частные производные функции f(x, y) по x и y соответственно.

Чтобы вычислить dz, найдем частные производные функции f(x, y): ∂f/∂x = 7 - y ∂f/∂y = 8 - x

Теперь найдем dx и dy (приращения x и y при переходе от точки A к точке B): dx = x1 - x0 dy = y1 - y0

Теперь можем вычислить приближенное значение z1 в точке B: z1 приближенное = z0 + dz где z0 - значение функции в точке A(x0, y0).

3. Оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом: Относительная погрешность (в процентах) вычисляется по формуле: Относительная погрешность = |(z1 - z1 приближенное) / z1| * 100%

4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0,y0,z0): Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0,y0,z0) имеет вид: z - z0 = ∂f/∂x * (x - x0) + ∂f/∂y * (y - y0)

Теперь давайте подставим значения и решим задачу для данных точек A(5,3) и B(4.98,3.03):

1. Вычисление z1 в точке B: z1 = 74.98 + 83.03 - 4.98*3.03 ≈ 39.96

2. Вычисление приближѐнного значения z1 функции в точке B: Вычислим dx и dy: dx = 4.98 - 5 = -0.02 dy = 3.03 - 3 = 0.03

Вычислим частные производные функции f(x, y): ∂f/∂x = 7 - 3.03 ≈ 3.97 ∂f/∂y = 8 - 4.98 ≈ 3.02

Теперь вычислим dz: dz = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy ≈ 3.97 * (-0.02) + 3.02 * 0.03 ≈ -0.0794 + 0.0906 ≈ 0.0112

Теперь вычислим приближенное значение z1 в точке B: z1 приближенное = z0 + dz ≈ 32 + 0.0112 ≈ 32.0112

3. Оценка относительной погрешности: Относительная погрешность = |(z1 - z1 приближенное) / z1| * 100% = |39.96 - 32.0112| / 39.96 * 100% ≈ 19.9%

4. Уравнение касательной плоскости в точке C(5,3,z0): z - 32 = 3.97 * (x - 5) + 3.02 * (y - 3)

Уравнение касательной плоскости в точке B(4.98,3.03): z - 32 = 3.97 * (4.98 - 5) + 3.02 * (3.03 - 3)

Итак, у нас есть ответы на все пункты задания.