Question

Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани —- угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите его объем.

Answer 1

Обозначим стороны основания через a и b, диагональ боковой грани через d, она является гипотенузой прямоугольного треугольника у которого один угол по условию =60 град. а катет =8. Следовательно другой угол равен 90-60=30 град. Катет b, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Можно составить уравнение по теореме Пифагора:
(2*b)^2-(b)^2=8^2
Отсюда b=8/(3)^1/2
Так как диагональ параллелепипеда составляет с основанием угол 45 градусов, то прямоугольный треугольник, в котором она является гипотенузой - равнобедренный. Отсюда диагональ основания параллелепипеда равна его высоте =8. Вторую сторону основания а находим по теореме Пифагора:
a^2+b^2=8^2  После подстановки b, найдем a:
 a=8*(2/3)^1/2
Для нахождения объема перемножаем найденные стороны и на высоту (8 по условию):
V=[8*(2/3)^1/2]*[8/3^1/2]*8=(8^3*2^1/2)/3=241.36

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

По условию, диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°. Пусть длины сторон основания параллелепипеда равны a и b, а диагональ равна d1. Тогда по теореме Пифагора имеем: d1^2 = a^2 + b^2.

Также, диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60°. Пусть высота параллелепипеда равна h, а диагональ боковой грани равна d2. Тогда по теореме Пифагора имеем: d2^2 = a^2 + (b + h)^2.

Из данных задачи известно, что высота параллелепипеда равна 8 см, т.е. h = 8 см.

Теперь найдем значения a, b, d1 и d2. Составим систему уравнений:

1) d1^2 = a^2 + b^2, 2) d2^2 = a^2 + (b + h)^2.

Подставим во второе уравнение из первого: d2^2 = d1^2 + h^2.

Подставим известные значения: d2^2 = a^2 + b^2 + 8^2, d2^2 = d1^2 + 8^2.

Теперь найдем значения a и b, подставив в первое уравнение из второго: a^2 + b^2 = d1^2, a^2 + b^2 = d2^2 - 8^2.

Подставим известные значения: a^2 + b^2 = d1^2, a^2 + b^2 = d2^2 - 64.

Теперь мы имеем систему уравнений: 1) a^2 + b^2 = d1^2, 2) a^2 + b^2 = d2^2 - 64.

Так как левые части уравнений равны, то и правые части тоже равны: d1^2 = d2^2 - 64.

Подставим известные значения: d1^2 = d2^2 - 64, a^2 + b^2 = d2^2 - 64.

Теперь найдем значения a и b, подставив в первое уравнение из второго: a^2 + b^2 = d2^2 - 64, a^2 + b^2 = a^2 + (b + 8)^2 - 64.

Раскроем скобки и упростим: a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 16b + 64 - 64, 16b = 0, b = 0.

Таким образом, получаем, что b = 0.

Подставим найденные значения a и b в первое уравнение: a^2 + b^2 = d1^2, a^2 + 0^2 = d1^2, a^2 = d1^2.

Так как a и b должны быть положительными, то a = d1.

Теперь найдем объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты: V = a * b * h.

Подставим найденные значения: V = d1 * 0 * 8, V = 0.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен 0.