Question

2x^2-4y-9x+15=0 Нужно найти координаты фокуса и уравнение директрисы

Answer 1

сокращенный ответ :

Координаты фокуса: F(9/4, 145/32)

Уравнение директрисы: x = 9/4

ПОДРОБНОЕ ПОЯСНЕНИЯ :

Чтобы найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, сначала нужно преобразовать уравнение параболы в каноническую форму. Каноническая форма уравнения параболы для вертикальной параболы имеет вид:

(x - h)² = 4p(y - k)

Где (h, k) - координаты вершины параболы, а "p" - расстояние от фокуса до вершины и расстояние от директрисы до вершины.

Сначала перепишем уравнение в каноническую форму:

2x² - 4y - 9x + 15 = 0

Для начала выразим y:

4y = 2x² - 9x + 15

y = (1/4)(2x² - 9x + 15)

Теперь давайте завершим квадрат, выделив полный квадрат внутри скобки:

y = (1/4)(2(x² - (9/2)x) + 15)

Для завершения квадрата, нам нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при "x":

y = (1/4)(2(x² - (9/2)x + (9/4)² - (9/4)²) + 15)

y = (1/4)(2((x - 9/4)² - (81/16)) + 15)

y = (1/4)(2(x - 9/4)² - (81/8) + 15)

y = (1/2)(x - 9/4)² - (81/32) + 15/4

Теперь у нас есть уравнение в канонической форме, где (h, k) = (9/4, 81/32).

Теперь мы видим, что парабола вертикальная, поскольку выражение (x - h)² у нас в квадрате, а (h, k) - координаты вершины параболы.

Теперь нам известно, что фокусное расстояние "p" равно 1/2 (коэффициент перед выражением (x - h)²). Таким образом, "p" равно 1/2.

Теперь мы можем найти координаты фокуса (F), которые будут находиться выше вершины параболы на расстоянии "p". Так как вершина находится в точке (9/4, 81/32), то фокус будет в точке:

F(9/4, 81/32 + 1/2) = F(9/4, 145/32)

Теперь, чтобы найти уравнение директрисы, мы знаем, что директриса будет находиться ниже вершины параболы на расстоянии "p". Таким образом, директриса будет находиться на высоте:

D(9/4, 81/32 - 1/2) = D(9/4, 17/32)

Уравнение директрисы будет вертикальной линией, проходящей через точку D, и её уравнение будет:

x = 9/4

Итак, координаты фокуса F(9/4, 145/32), а уравнение директрисы x = 9/4.

Answer 2

Уравнение, которое вы предоставили, является уравнением параболы. Для нахождения координат фокуса (фокусов) и уравнения директрисы параболы, нужно привести это уравнение к стандартному виду параболы. Стандартное уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

\[4p \cdot x = y^2\]

где \(p\) - фокусное расстояние. Ваше уравнение:

\[2x^2 - 4y - 9x + 15 = 0\]

Давайте приведем его к стандартному виду. Сначала перепишем его:

\[2x^2 - 9x - 4y + 15 = 0\]

Теперь давайте попробуем выразить \(y\) в этом уравнении:

\[4y = 2x^2 - 9x + 15\]

\[y = \frac{2}{4}x^2 - \frac{9}{4}x + \frac{15}{4}\]

\[y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{4}x + \frac{15}{4}\]

Теперь мы видим, что это уравнение представляет собой параболу в стандартной форме. Сравнивая его с \(4p \cdot x = y^2\), мы можем найти \(p\):

\[4p = \frac{1}{2}\]

\[p = \frac{1}{8}\]

Таким образом, фокусное расстояние \(p\) равно \(\frac{1}{8}\).

Фокусное расстояние \(p\) характеризует расстояние между фокусом параболы и её вершиной. В данном случае вершина находится в начале координат (0,0), поскольку уравнение было приведено к стандартному виду с вершиной в начале координат.

Теперь давайте найдем уравнение директрисы. Уравнение директрисы параболы вида \(4p \cdot x = y^2\) имеет форму \(x = -\frac{p}{2}\), где \(p\) - фокусное расстояние. В нашем случае \(p = \frac{1}{8}\), поэтому уравнение директрисы будет:

\[x = -\frac{1}{16}\]

Таким образом, уравнение директрисы данной параболы - \(x = -\frac{1}{16}\), а фокусное расстояние \(p\) равно \(\frac{1}{8}\).