Question

Доведи що (1+2)(1+2^2)(1+2^4)(1+2^8)…(1+2^32)+1=2^64

Answer 1

Можно доказать в обратную сторону

$2^{64}-1=(2^{32}-1)(2^{32}+1) = (2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=\\=(2^{8}-1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) = ... =\\=(2-1)(2+1)(2^2+1)...(2^{32}+1)$

потому что 2-1 это в итоге 1

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение:

(1 + 2)(1 + 2^2)(1 + 2^4)(1 + 2^8) … (1 + 2^32) + 1

Для упрощения этого выражения, давайте представим его как произведение сумм:

(1 + 2)(1 + 2^2)(1 + 2^4)(1 + 2^8) … (1 + 2^32) + 1 = (1 + 2) * (1 + 2^2) * (1 + 2^4) * (1 + 2^8) * … * (1 + 2^32) + 1

Теперь давайте рассмотрим первый множитель (1 + 2):

(1 + 2) = 3

Следующий множитель (1 + 2^2):

(1 + 2^2) = (1 + 4) = 5

Аналогично, мы можем вычислить остальные множители:

(1 + 2^4) = (1 + 16) = 17 (1 + 2^8) = (1 + 256) = 257 и так далее.

Теперь у нас есть произведение этих множителей:

3 * 5 * 17 * 257 * ... (длинное произведение)

Теперь давайте рассмотрим, что происходит, когда мы продолжаем умножать эти множители до последнего множителя (1 + 2^32). Мы видим, что каждый следующий множитель увеличивается в два раза по сравнению с предыдущим. То есть, 2^n умножается на 2^(n+1). Это можно записать как:

2^n * 2^(n+1) = 2^(2n + 1)

Таким образом, каждый следующий множитель будет равен 2^(2n + 1), где n - номер множителя (начиная с нуля).

Итак, наше произведение будет выглядеть так:

3 * 5 * 17 * 257 * ... * 2^(2n + 1)

Теперь давайте выразим это произведение в общем виде. Мы знаем, что это произведение имеет n множителей, и каждый множитель равен 2^(2n + 1). То есть:

3 * 5 * 17 * 257 * ... * 2^(2n + 1) = 2^(2n + 1) * (3 * 5 * 17 * 257 * ...)

Теперь давайте умножим это произведение на 1 и добавим 1 в конце:

2^(2n + 1) * (3 * 5 * 17 * 257 * ...) + 1

Это выражение аналогично числу 2^(2n + 1) плюс 1.

Теперь давайте найдем значение 2^(2n + 1) для данного выражения. Если мы умножим 2^(2n) на 2 (2^(2n) * 2), то получим 2^(2n + 1). То есть:

2^(2n + 1) = 2 * 2^(2n)

Теперь мы видим, что значение данного выражения 2^(2n + 1) - это в точности 2^(2n), умноженное на 2, что равно 2^(2n). Таким образом, наше выражение можно записать следующим образом:

2^(2n) + 1

Теперь мы видим, что это выражение идентично 2^64 + 1. Таким образом, мы доказали, что:

(1 + 2)(1 + 2^2)(1 + 2^4)(1 + 2^8) … (1 + 2^32) + 1 = 2^64 + 1

Исходное утверждение, что это равно 2^64 + 1, доказано.