Question

Найти площадь фигуры ограниченной кривыми y = x^2, y = -x​

Answer 1

Ответ:

Найти площадь фигуры ограниченной линиями  $\bf y=x^2\ ,\ y=-x$   .

Вычислим с помощью определённого интеграла .

$\bf \displaystyle S=\int\limits_{-1}^0\, (-x-x^2)\, dx=\Big(-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_{-1}^0=\frac{(-1)^2}{2}+\frac{(-1)^3}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$  

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями \(y = x^2\) и \(y = -x\), необходимо сначала найти точки их пересечения, а затем найти площадь между этими кривыми на заданном интервале.

1. Начнем с поиска точек пересечения кривых \(y = x^2\) и \(y = -x\). Для этого приравняем уравнения и решим уравнение:

\[x^2 = -x\]

Переносим все члены на одну сторону и получаем:

\[x^2 + x = 0\]

Факторизуем левую сторону:

\[x(x + 1) = 0\]

Таким образом, получаем два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = -1\).

2. Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся при \(x = 0\) и \(x = -1\). Найдем соответствующие значения \(y\) для каждой из кривых:

- Для \(y = x^2\) при \(x = 0\): \(y = 0\) - Для \(y = -x\) при \(x = 0\): \(y = 0\) - Для \(y = x^2\) при \(x = -1\): \(y = 1\) - Для \(y = -x\) при \(x = -1\): \(y = 1\)

3. Теперь у нас есть точки пересечения: (0, 0) и (-1, 1). Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими кривыми, мы можем воспользоваться определенным интегралом. Площадь между кривыми можно найти как разницу интегралов между этими кривыми на заданном интервале.

4. Выразим \(y\) относительно \(x\) для каждой из кривых:

- Для \(y = x^2\), \(y = x^2\) - Для \(y = -x\), \(y = -x\)

5. Теперь мы можем записать интеграл для нахождения площади фигуры:

\[S = \int_{-1}^0 (x^2 - (-x)) dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \int_{-1}^0 (x^2 + x) dx\]

Для интегрирования этой функции от -1 до 0, мы можем использовать интеграл от \(x^2\) и интеграл от \(x\), а затем вычесть один из другого:

\[S = \left[\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0\]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

\[S = \left(0 - 0\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2\right)\]

Вычисляем значения:

\[S = \left(0 - 0\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y = -x\) на интервале \([-1, 0]\), равна \(5/6\).