Question

При каких значениях параметра a уравнение √(|x-2|) = √(a*x+1) имеет более одного решения? Нужно подробное решение

Answer 1

Раз область значений функций левой и правой части уравнения $[0;+\infty)$, то, приравняв левую и правую части уравнения к нулю, получим $|x-2|=0$ и $ax+1=0$ откуда $x=2$ и $a=-0.5$ - одно решение

Левая часть - под коренное выражение неотрицательно, т.е. уравнение будет зависеть только от правой части.

$ax+1\geq 0$

Возводим левую и правую части уравнения в квадрат

$|x-2|=ax+1$

При условии, что $ax+1\geq 0$, возводим снова в квадрат обе части уравнения:

$(x-2)^2=(ax+1)^2\\ (x-2)^2-(ax+1)^2=0$

В левой части применим формулу разности квадратов:

$(x-2-ax-1)(x-2+ax+1)=0\\ (x(1-a)-3)(x(1+a)-1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x(1-a)-3=0$ откуда $x=\frac{3}{1-a}$

$x(1+a)-1=0$ откуда $x=\frac{1}{1+a}$

Теперь исследуем на условии $ax+1\geq 0$. Подставляем первый корень

$a\cdot \frac{3}{1-a} +1\geq 0~~~\Rightarrow~~~\frac{2a+1}{1-a}\geq 0$

Решением этого неравенства является промежуток $a \in [-0.5;1)$

Подставим теперь второй корень.

$a\cdot \frac{1}{1+a} +1\geq0~~~\Rightarrpw~~~ \frac{2+a}{1+a}\geq 0$

решением этого неравенства является промежуток $a \in (-\infty;-2]\cup(-1;+\infty)$

Пересечение этих двух решений: $a \in [-0.5;1)$. Из выше сказанного при а = -0,5 уравнение имеет одно решение. Поэтому при $a \in (-0.5;1)$ данное уравнение имеет более одного решения.

Ответ: при a ∈ (-0.5;1).

Answer 2

Для разнообразия графический метод, потому что он для ленивых

Answer 3

Дано уравнение: √(|x-2|) = √(a*x+1)

Чтобы определить, при каких значениях параметра a данное уравнение имеет более одного решения, нужно рассмотреть два случая:

1) x ≥ 2: В данном случае модуль |x-2| равен (x-2), поэтому уравнение принимает вид: √(x-2) = √(a*x+1). Возведем обе части уравнения в квадрат: (x-2) = a*x+1. Раскроем скобки: x-2 = a*x + 1. Перенесем все слагаемые с x в левую часть уравнения: x - a*x = 1 + 2. Факторизуем x: (1-a)*x = 3. Если (1-a) ≠ 0, то x = 3 / (1-a). Таким образом, при (1-a) ≠ 0 уравнение имеет единственное решение.

2) x < 2: В данном случае модуль |x-2| равен (2-x), поэтому уравнение принимает вид: √(2-x) = √(a*x+1). Возведем обе части уравнения в квадрат: (2-x) = a*x+1. Раскроем скобки: 2 - x = a*x + 1. Перенесем все слагаемые с x в правую часть уравнения: -x - a*x = 1 - 2. Факторизуем x: (-1-a)*x = -1. Если (-1-a) ≠ 0, то x = -1 / (1+a). Таким образом, при (-1-a) ≠ 0 уравнение имеет единственное решение.

Таким образом, уравнение √(|x-2|) = √(a*x+1) имеет более одного решения, когда одновременно выполняются условия (1-a) = 0 и (-1-a) = 0.

1-a = 0: Из этого уравнения находим a = 1.

-1-a = 0: Из этого уравнения находим a = -1.

Таким образом, уравнение имеет более одного решения при a = 1 и a = -1.