Question

4sin²x-11cosx-1=0 помогите решить пожалуйста

Answer 1

Решение в закрепе.(Я сделал , через arccos )

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. У нас есть уравнение:

$4\sin^2(x) - 11\cos(x) - 1 = 0$

Для начала, давайте воспользуемся тождеством $1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)$, чтобы заменить $\sin^2(x)$:

$4(1 - \cos^2(x)) - 11\cos(x) - 1 = 0$

Теперь раскроем скобки:

$4 - 4\cos^2(x) - 11\cos(x) - 1 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Давайте представим его в виде:

$4\cos^2(x) + 11\cos(x) - 3 = 0$

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения $\cos(x)$. Мы можем воспользоваться дискриминантом, чтобы найти значения $\cos(x)$:

Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем случае:

$a = 4, \quad b = 11, \quad c = -3$

$D = 11^2 - 4(4)(-3)$ $D = 121 + 48$ $D = 169$

Теперь мы можем найти два значения $\cos(x)$ с помощью квадратного уравнения:

$\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\cos(x) = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2(4)}$

$\cos(x) = \frac{-11 \pm 13}{8}$

Теперь найдем два возможных значения $\cos(x)$:

1. $\cos(x) = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

2. $\cos(x) = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3$

Теперь мы должны найти соответствующие значения $\sin(x)$ для этих значений $\cos(x)$. Используем тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

1. Для $\cos(x) = \frac{1}{4}$: $\sin^2(x) + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1$ $\sin^2(x) + \frac{1}{16} = 1$ $\sin^2(x) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ $\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

2. Для $\cos(x) = -3$: Это значение $\cos(x)$ находится за пределами диапазона [-1, 1], поэтому уравнение не имеет решений в этом случае.

Итак, у нас есть два возможных значения $\sin(x)$:

1. $\sin(x) = \frac{\sqrt{15}}{4}$
2. $\sin(x) = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

Теперь мы знаем значения $\sin(x)$, и можем найти значения $x$:

1. $x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) + 2\pi n$, где $n$ - целое число.
2. $x = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Таким образом, у нас есть бесконечное множество решений, которые можно представить в виде $x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) + 2\pi n$ и $x = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) + 2\pi n$, где $n$ - целое число.