Question

Log3(4x+2)-log3(2)=Log3(x^2) Решите логарифмическое уравнение

Answer 1

Сначала находим область определения функции:X∈(-1/2;0)∪(0;+∞)
упростим выражение используя - ㏒ₐ(x)-㏒ₐ(y)=㏒ₐ(x/y)⇒㏒₃((4x+2)/2)=㏒₃(x²)⇒вынесем общий множитель(2) за скобки и сократим 2⇒㏒₃(2x+1)=㏒₃(x²)⇒2x+1=x²⇒2x+1-x²=0⇒x²-2x-1=0⇒D = 2²-4*1*(-1)=4+4=8;x₁ = (2+2√2)/2 = 1 +√2; x₂=(2-2√2)/2=1-√2 - оба корня подходят,то есть и x₁ и x₂ являются решением уравнения

Answer 2

Чтобы решить логарифмическое уравнение, используем свойства логарифмов. В данном случае применим свойство логарифма разности, а затем решим получившееся квадратное уравнение.

Итак, у нас есть уравнение:

$\log_3(4x+2) - \log_3(2) = \log_3(x^2)$

Сначала применим свойство логарифма разности:

$\log_3\left(\frac{4x+2}{2}\right) = \log_3(x^2)$

Теперь можем упростить дробь в логарифме:

$\log_3(2x+1) = \log_3(x^2)$

Теперь, применив свойство равенства логарифмов, получаем:

$2x + 1 = x^2$

Теперь приведем это к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.